injection Sobolev

siwar · November 2017

Bonjour à tous.

J 'ai une petite question qui m'empêche d'avancer :
Soit $u \in H^{2}$ la solution de
$-\Delta u = fu + g\vert u\vert^{q}.$ avec où $f$ et $g$ sont $C^{0}(\Omega),$ et $ q > 1.$

Si maintenant $f$ et $g$ sont $C^{k}(\Omega).$ Est-il vrai que $u \in H^{k+1}$ ? J'ai essayé par récurrence mais j n pas arrivé.

Merci à vous

gebrane · November 2017

Ton problème se réduit à : si $f\in H^m(\Omega)$ et $\Delta u=f \,pp\, \Omega$ alors $u\in H^{m+2}(\Omega)$ ($\Omega$ un ouvert régulier.)

Correction erreur de frappe: $f$ remplacé par $u$.

siwar · November 2017

@gebrane: oui il me semble que ça.

pour $k=1$
si, $f , g$ sont $C^{1}$ et $u\in H^{2}$ alors $fu \in C^{1}$ et $g\vert u\vert^{q} \in C^{1}$ donc $-\Delta u \in C^{1}$ reste à montrer que $-\Delta u \in H^{1}$ pour obtenir que $u\in H^{3}$
est ce que ce bien ça ?

Merci

[Merci de te relire, notamment pour l'emplacement des symboles $. Poirot]

gebrane · November 2017

@siwar
Je ne voulais pas répliquer mais tu dis, sachant que tu es en Master, que $fu \in C^{1}$ pour $f\in C^{1}$ et $u\in H^2$ c'est grave!

siwar · November 2017

@gebrane,

Dsl j été trop rapide!
si, $f , g$ sont $C^{1}$ et $u\in H^{2}$ alors $fu \in H^{1}$ et $g\vert u\vert^{q} \in H^{1}$ donc $-\Delta u \in H^{1}$ DONC $u\in H^{3}$ car $H^{m}$ est un sous espace de $C^{m}$

siwar · November 2017

@gebrane! alors!

gebrane · November 2017

Démontre moi si $f\in C^1$ et $g \in H^2$ alors $fg\in H^1$ ?

injection Sobolev

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Bonjour!

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