Espace tangent et Bouligand
Bonjour,
Si je me donne la fonctio $x\to x^2$ je m'aperçois que la droite tangente à l'origine est $x \to 0$
https://snag.gy/NkKLzx.jpg
Dans ce cas quel est l'espace tangent à l'origine (est ce pareil que la droite tangente à la courbe en 0 ?)? Quels sont les vecteurs tangents à l'origine dans le sens donné par la géométrie différentielle ?
Si je me donne la fonctio $x\to x^2$ je m'aperçois que la droite tangente à l'origine est $x \to 0$
https://snag.gy/NkKLzx.jpg
Dans ce cas quel est l'espace tangent à l'origine (est ce pareil que la droite tangente à la courbe en 0 ?)? Quels sont les vecteurs tangents à l'origine dans le sens donné par la géométrie différentielle ?
Réponses
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L'espace tangent à l'origine de quoi ?
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Eh bien du graphe de la fonction $x \to x^2$ (si celà à un sens ?...) en l'origine...
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Merci en fait j'ai compris je penses, j'ai automatiquement un paramètrage de la courbe $\gamma: x\to (x,x^2)$ les vecteurs vitesse sont donc donnés par $\gamma':x \to (1,2x)$. Puisque $\gamma'(0)=(1,0)$ j'imagne que l'espace tangent est $vect\{(1,0)\}$ (il suffit de changer de paramètrage pour garder la même courbe, par exemple en prenant $x \to (2x,4x^2)$ on obtiendrait un autre vecteur vitesse en 0 dans l'espace tangent.
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En fait je pensait que le cône tangent (de Bouligand noté $B_D$) et l'espace tangent étaient une seule et même chose dans le cas où $h$ (la fonction qui définit la courbe notée $D$ ici) est différentiable or je m'aperçois que ce sont deux choses complètement différents qui vivent même pas dans le même espace:
https://snag.gy/khe246.jpg -
Quel est l'espace tangent au point $x=0 \in R$ ?
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On est en dimension 1, sachant qu'un espace tangent est nécessairement un espace vectoriel ce ne peut être que $\{0\}$ où $R$. Si j'ai bien compris la démarche est toujours de passer par un paramétrage au voisinage du point de l'ensemble (la variété) dont on cherche l'espace tangent. Ici on peut prendre (c'est le seul qui convent) le paramétrage nulle et donc les seules dérivées du paramétrage en 0 sont les vecteurs nulles. On a donc l'espace tangent qui est $\{0\}$.
Je n'arrive pas à imaginer de cône tangent différent d'un espace tangent pour le moment... Je sais pourtant qu'il s'agit d'une généralisation de ce dernier... -
Le graphe de la fonction valeur absolue par exemple ?
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Ok dans ce cas si je note $D$ le graphe de cette fonction valeure absolue; si je ne dis pas trop de conneries l'espace tangent en 0 à D est $(0,0)$ tandis que son cône tangent est $\{(x,y):y \geq x\}$ n'est ce pas ?
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Non :
- le cône tangent est plus petit que ça : comment fais-tu pour avoir une courbe dont le vecteur tangent en $(0,0)$ est, disons, le vecteur « vertical » (de coordonnées) $(0,1)$ ?
- l'espace tangent est l'espace engendré par les vecteurs tangents : ici, c'est le plan (vectoriel) entier.
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Il faut bien faire la nuance entre espace vectoriel et espace affine ici. Quand on fait des dessins on place l'espace tangent collé à la variété en un point, mais cet espace dessiné n'est en général pas vectoriel.
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Pardon:
- le cône tangent à D en 0 serait plutot $\{(x,y):y = |x|\}$
- par contre pour l'espace tangent je ne vois aucune raison pour que ce soit $R^2$, à cause de la cassure en 0 de la fonction valeur absolue je ne peux pas trouver de paramétrage lisse au voisinage de 0 misa à part le paramétrage nulle et l'espace tangent est donc juste l'origine pour moi ! Peut tu prouver que c'est R^2 que je comprenne là où je fais une erreur ? (peut être n'a t'on pas la même définition) -
OK pour le cône tangent – il s'identifie au graphe mais c'est un hasard. Le cône tangent au graphe de la fonction $x\mapsto\sqrt{|x|}$ serait la demi-droite verticale $\{(x,y),\ x=0\ \text{et}\ y\ge0\}$.
Quant à l'espace tangent, je peux me tromper mais voici ce qu'il me semble raisonnable d'exiger : que ce soit un espace vectoriel, qu'il contienne le cône tangent et qu'il soit aussi petit que possible avec ces propriétés ; autrement dit, que ce soit le sous-espace vectoriel engendré par le cône tangent. Pour le graphe de la valeur absolue, le cône contient deux vecteurs non colinéaires dont l'espace engendré est $\R^2$. -
On le définit donc pas de la même manière et pour moi le cône de Bouligand contient toujours l'espace tangent! (c'est ait une généralisation dans les mauvais cas comme ton exemple où il n'y a pas de différentiabilité en 0)
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Le Bouligand n'est pas une généralisation "dans les mauvais cas", c'est le bon cadre. L'espace tangent n'en n'est qu'un cas particulier. Typiquement le Bouligand permet de traiter aussi les contraintes d'inégalité, il contient aussi les vecteurs "rentrants".
D'ailleurs le tangent n'a d'intérêt essentiellement que lorsque tu as une sous variété (locale) car dans ce cas il est décrit par le noyau de la différentielle.
A supposer même que ton ensemble sur lequel tu maximises soit l'adhérence d'un ouvert à bord régulier, en un point du bord considérer le Bouligand te donnera en plus le signe du multiplicateur que tu n'as pas en considérant simplement le tangent, "moins riche".
Si tu maximises une fonction sur $C_1=\{(x,y), x^2+y^2 \leq 1\}$ et que l'extremum est au bord, écrire la condition que tu maximises uniquement sur la frontière (ce que l'on fait lorsqu'on considère le tangent) te fait perdre de l'information, parce que tu aurait la même condition si tu avait travaillé avec $C_2=\{(x,y), x^2+y^2 \geq 1\}$ au lieu de $C_1$, et je pense que nous sommes d'accord que les maxima de l'un ne sont pas nécessairement ceux de l'autre (prends $f(x,y)=x$). La considération des Bouligand te montre bien que dans un cas en $(1,0)$ tu as un max et dans l'autre cas un minimum. -
Contrairement à ce qui est écrit ci-dessus, l'espace tangent est inclus dans le cône tangent (qui porte cette dénomination complètement stupide, puisque justement le cône tangent contient aussi les rentrants, et pas que ...). C'est pour cela que je préfère nettement l'appelation de cône de Bouligand.
Bien entendu, de manière évidente avec la définition, l'espace tangent à un singleton est $\{0\}$ car la seule courbe tracée dans le singleton est constante.
Rappel : définition du tangent en $a$ à $X$ : il s'agit des $\sigma'(0)$ où $\sigma$ est une courbe tracée dans $X$, définie sur $]-\varepsilon,\varepsilon[$,dérivable en $0$ et telle que $\sigma(0)=a$.
Définition du Bouligand (clairement plus générale !!!). Il s'agit des limites possibles de quotients $\frac{1}{t_n}(x_n-a)$ où $t_n\to 0^+$ et $x_n\in X$ avec $x_n \to a$. Dans le cas de l'adhérence d'un ouvert à bord régulier (pour faire le lien avec ce qui précède), le Bouligand est l'ensemble des $\sigma_d'(0)$ où $\sigma$ est une courbe tracée dans $X$, définie sur $[0,\varepsilon[$, dérivable (à droite) en $0$ et telle que $\sigma(0)=a$.
La version la mieux faite à ma connaissance est un polycopié rédigé il y a longtemps par un certain J. Blot. On a trouvé longtemps sur internet une version raccourcie de D. Pennequin, mais je ne la vois plus. Peut-être qu'en les contactant tu pourrais avoir leurs polys. -
Dont acte.
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Mais bien entendu dans le cas d'une sous-variété locale, Bouligand et espace tangent coïncident (c'est peut-être à cause de cela que l'on a repris le terme "tangent").
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