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Principe du prolongement analytique

poli12poli12
dans Analyse
Bonjour quelqu'un pourrait-il m'expliquer le principe du prolongement analytique??? Et aussi comment prolonger la fonction logarithme définie sur le plan complexe privé de l'axe des réels négatifs en un point u de cet axe???
Ps: j'ai lu les explication de wikipedia mais je n'ai pas compris.

Réponses

  • PoirotPoirot
    C'est un principe équivalent au principe des zéros isolés. Si $f$ est une fonction holomorphe sur un ouvert connexe non vide $U$ de $\mathbb C$, alors si l'ensemble des zéros de $f$ admet un point d'accumulation dans $U$, alors $f$ est identiquement nulle sur $U$. Si maintenant on considère deux fonctions holomorphes $g$ et $h$ sur ce même type d'ouvert, alors si jamais ces deux fonctions coïncident sur une partie de $U$ admettant un point d'accumulation (en particulier sur un ouvert de $U$ par exemple) alors $g=h$ sur $U$, tout simplement en remarquant que la fonction holomorphe $g-h$ vérifie les conditions du principe des zéros isolés.

    Concrètement, ça veut dire qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un ensemble ayant un point d'accumulation (ou même un ouvert). Si on a deux fonctions holomorphes $f$ et $g$ définies respectivement sur des ouverts connexes $U$ et $V$, tels que $U \cap V \neq \emptyset$ et $f=g$ sur $U \cap V$ alors $g$ prolonge de manière analytique $f$ à tout $U \cup V$, et c'est l'unique tel prolongement. C'est quelque chose qui a énormément d'applications en analyse complexe.

    Par exemple, partons de la fonction $\Gamma$, définie pour $\mathfrak{Re}(s) > 0$ par $$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} \rm{e}^{-t} \,dt.$$ C'est une fonction holomorphe sur le demi-plan ouvert $\Omega_0 = \{s \in \mathbb C, \mathfrak{Re}(s) > 0\}.$ Si jamais on peut la prolonger de manière analytique à un ouvert (connexe) de $\mathbb C$ plus grand, on sait que c'est la seule manière de le faire. Pour faire cela, on part de l'équation fonctionnelle qui s'obtient par IPP : $\Gamma(s+1) =s \Gamma(s)$. Commençons par étendre $\Gamma$ à $\Omega_{-1} = \{s \in \mathbb C, \mathfrak{Re}(s) > -1\} \setminus \{0\}.$ Pour ça on définit la fonction $$h : s \mapsto \frac{\Gamma(s+1)}{s}.$$ D'après l'équation fonctionnelle, cette fonction coïncide avec $\Gamma$ sur $\Omega_0$, et comme elle est également holomorphe sur $\Omega_{-1}$, le principe du prolongement analytique nous dit que $h$ est l'unique prolongement analytique de $\Gamma$ à $\Omega_{-1}$. On peut ensuite raisonner par récurrence et obtenir le prolongement analytique de $\Gamma$ à tout $\mathbb C \setminus \{0, -1, -2, \dots\}.$
  • poli12poli12
    Merci . peut on prolonger une fonction à partir d'une singularité ???
  • PoirotPoirot
    Qu'est-ce que ça veut dire "prolonger à partir d'une singularité" ?
  • mojojojomojojojo
    Qu'est ce que ça veut dire pour toi "prolonger une fonction à partir d'une singularité" déjà ?

    Pour le prolongement du logarithme il y a plusieurs points de vue possibles, celui que je préfère est le suivant :
    Soit $U\subset \mathbf C^*$ un ouvert simplement connexe contenant $1$ (comme $\mathbf C \backslash \mathbf R_{-}$ par exemple). On peut définir une détermination du logarithme sur $U$ avec la formule

    $$\log(x)=\int_{\gamma} \frac 1 z \mathrm d z$$

    où $\gamma$ est un chemin allant de $1$ à $z$. Si $U$ vérifie bien les hypothèses écrites ici alors cette formule a bien un sens et on obtient bien une détermination du logarithme sur $U$.
  • poli12poli12
    @Mojojojo
    OK vu cette manière de définir le logarithme, -1 est l'une de ses singularités comment prolonger log sur un ouvert contenant -1 et C\R_. Et holomorphe sur cet ouvert.
  • PoirotPoirot
    On ne peut même pas le faire de manière continue !

    Soit une fonction $L$ définie sur $O = \mathbb C \setminus \mathbb R^- \cup \{-1\}$ et telle que $L(\mathrm{e}^z) = z$ pour tout $z \in O$.

    D'un côté on a $$L(\mathrm{e}^{i(\pi-1/n)}) = i(\pi - 1/n)$$ pour tout $n \geq 1$ et de l'autre on a $$L(\mathrm{e}^{-i(\pi-1/n)}) =- i(\pi - 1/n)$$ pour tout $n \geq 1$. Si une telle fonction était continue en $-1$, on aurait $L(-1)=i\pi = -i \pi$, absurde.
  • poli12poli12
    on peut définir une fonction logarithme complexe holomorphe sur le plan privé d'une demi-droite formée des réels négatifs, et aucune extension holomorphe à un domaine plus grand n'existe. Cependant, si on considère un réel strictement négatif donné u, et la restriction de la fonction aux complexes de partie imaginaire strictement positive, cette restriction, elle, peut être prolongée sur un disque centré sur le point u, et ce prolongement est le seul possible sur le domaine considéré (réunion d'un demi-plan et d'un disque).
    Je ne comprends pas ici comment on fait ce prolongement(à partir de la restriction) . en réalité voici où je voulais en venir.
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Par exemple, si la détermination du logarithme que tu prends sur le demi-plan des complexes de partie imaginaire $>0$ a sa partie imaginaire entre $0$ et $\pi$, alors tu peux l'étendre de façon holomorphe à un disque centré en $-1$ de rayon $<1$, avec le logarithme de $-1$ égal à $\pi$.
  • poli12poli12
    @poirot
    Comment montrez vous que $\Omega_o$ admet un point d'accumulation???
  • PoirotPoirot
    C'est un ouvert non vide de $\mathbb C$...
  • poli12poli12
    @GBMZ
    Dans ce prolongement comment definissez vous l'image des l'éléments de la boule centré en -1.
  • poli12poli12
    Puisque c'est un ouvert non vide alors il contient un disque $D(a,r)$ et les disques admettent toujours un point d'accumulation (voir leurs centres comme point d'accumulation.)
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    La partie imaginaire de la détermination du logarithme est la détermination de l'argument comprise entre $\pi/2$ et $3\pi/2$.
  • poli12poli12
    @poirot c'est dans cette lancé que vous démontrez que $\Omega_o$ admet un point d'accumulation???
  • HéhéhéHéhéhé
    Chaque point d'un ouvert non vide de $\Omega$ est un point d'accumulation de points de $\Omega$, c'est quasiment par définition d'un ouvert...
  • reunsreuns
    • Je commencerais par dire que si $f(z)$ est analytique sur $\mathbb{C}$, par exemple $f(z) = e^z$, alors $f$ est entièrement définie par sa série de Taylor en n'importe quel point :

      $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (z-a)^n \tag{1}$

      Cette série converge pour tout $z$ et ne dépend pas de $a$.
    • Si maintenant on prend $f(z) = \frac{e^z}{z}$ (qui a un pôle en $z=0$) alors $ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (z-a)^n$ ne converge que pour $|z| < |a|$, mais $f$ reste entièrement définie (sur tout $\mathbb{C}^*$) par sa série de Taylor en n'importe quel point.
    • La généralisation c'est ce qui a été dit plus haut : si $f$ est analytique sur un ouvert $U$ simplement connexe, alors $f$ est entièrement définie par sa série de Taylor en n'importe quel point $a \in U$ (et plus généralement par les valeurs que $f$ prend sur une suite qui s'accumule en un $a\in U$). En particulier, la série de Taylor en $a$ permet de calculer la série de Taylor en un autre point $b$, et de proche en proche, de couvrir $U$ par plein de petits disques où $f$ est définie par une série de Taylor.
    • Et donc si au départ on ne connaissait $f$ que sur $|z-a| < r$ (donc définie par sa série de Taylor en $a$), alors se pose la question du plus grand ouvert $U$ simplement connexe contenant $|z-a|< r$ tel que $f$ est analytique sur $U$. Et pour ça il suffit de calculer la série de Taylor en plein de points différents, et à chaque fois de calculer le rayon de convergence pour agrandir $U$ de plus en plus. Le théorème du prolongement analytique c'est que tout ça marche bien tant que $U$ est simplement connexe, ie. l'unicité du prolongement analytique.

      Preuve : si $f,g$ sont analytiques sur un ouvert $U$ simplement connexe et coincident un sur un petit disque $|z-a| < r$, alors $f-g$ est analytique sur $U$ et identiquement nulle sur le petit disque, donc son prolongement analytique est identiquement nul sur $U$. $$ $$
    • Quand $U$ n'est pas simplement connexe, on se retrouve potentiellement avec des problèmes comme les différentes branches de $z^{1/2}$ ou $\log z$, où le prolongement analytique dépend du chemin sur lequel on l'a effectué (prolonger $\log$ en tournant autour de $z=0$ dans le sens horaire, c'est pas pareil que de le faire dans le sens anti-horaire, dans le premier cas on se retrouve avec $\log(-1) = -i\pi$, dans le second avec $\log(-1) = i\pi$)
  • poli12poli12
    Bon bien que la simple connexité entraîne la connexité j'espère que vous voudrez dire que tout ça marche des que le l'ensemble $U$ est un ouvert connexe.
  • poli12poli12
    Bonjour j'ai un exposé concernant le principe du prolongement analytique. J'aimerais que vous lisez cette introduction et me donnez votre avis. Merci.

    Grâce à un travaille acharné en analyse complexe, le mathématicien français Cauchy a permis de montrer que les notions de fonction holomorphe et analytique coïncident sur les ouverts du plan complexe. Ce. puissant résultat va nous permettre de confondre ces deux expressions tout au long de notre exposé portant sur la théorie du prolongement analytique. En effet, il s'agit d'une théorie qui explique l'ensemble des propriétés et techniques concernant le prolongement des fonctions holomorphes tout en tenant compte des singularités et des complications d'ordre topologique qui les accompagnent. Cette théorie amène à des difficultés inattendues pour des fonctions aussi simples que la racine carrée et le logarithmique complexe

    Merci pour vos remarques.
  • HéhéhéHéhéhé
    Travail pas travaille
  • ChaurienChaurien
    logarithme pas logarithmique
  • gebranegebrane
    me donner votre avis pas me donnez votre avis
    Le 😄 Farceur


  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    lisiez, pas lisez.
    me donniez votre avis, pas me donnez votre avis.

    Cordialement,

    Rescassol
  • ChalkChalk
    poli12 a écrit:
    Cette théorie amène à des difficultés inattendues
    Ces difficultés n'étaient pas si inattendues que cela. A partir du moment où la fonction (réciproque) n'est pas injective c'était dur d'espérer des miracles. Au contraire même, l'analyse complexe montre qu'on peut considérer des logarithmes complexes de manière pertinente, c'est plutôt ça qui aurait pu être inattendu.
  • poli12poli12
    Merci à vous
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