Soit $D$ une variété , $x \in D$ et $d \in T_D(x)$ (l'espace tangent à $D$ en $x$)
Pouvez-vous prouver que la distance $d(x+td,D)=o(t)$ ? (je ne sais même pas par où commencer...)
La distance $d$ ? C'est quelle distance $d$ ? Si $d$ est la distance discrète c'est clairement faux. On parle de sous-variété différentielle ou de variété différentielle ici ? L'énoncé est un peu flou, tu recopies un truc vu ailleurs ou bien t'es parfaitement au clair avec les objets dont tu parles ?
Je ne t'ai pas demandé la définition de la distance d'un point à un ensemble, je t'ai demandé de définir $d$. Tu ne peux pas parlé de la distance $d$ sans avoir jamais dit ce que c'était avant. Ton énoncé est incomplet en l'état et on ne peut donc pas y répondre. Au mieux, en l'interprétant un peu, on peut dire qu'il est faux. En plus tu mélanges le vecteur tangent $d$ et la distance $d$.
Au passage, ça n'a aucun sens de parler de distance euclidienne dans une variété différentielle quelconque (sauf peut-être à utiliser un théorème de plongement mais là ça me dépasse). J'ai pourtant explicitement demandé si tu parlais de sous-variété, ce n'était pas pour rien. Maintenant tu parles peut-être de variété (métrisable) dont une métrique qui engendre sa topologie est $d$ ? Ou de sous-variété, c'est-à-dire de variété plongée dans $\R^n$ ?
Bref, je suis pas du tout connaisseur, mais je pense que tu n'as pas écrit le vrai énoncé que tu voulais prouver.
Au passage oui j'ai utilisé les mêmes notations (pas très adroit) mais je penses que le contexte est clair maintenant:
$\delta(x+tv,D) $ représente la distance du point x+tv à la partie D avec $d$ la distance sous jacente à $\delta$ définie comme la distnce euclidienne dans $R^n$ et $v$ un vecteur de l'espace tangent. (maintenant plus d'amalgames possibles!)
Bah ça aurait été bien qu'il n'y ait pas d'amalgame dès le début ... L'énoncé reste faux selon moi si le petit $o$ n'est pas transformé en $O$.
Dans ce cas l'énoncé devient très simple si je l'ai bien compris (même si t'as encore mélangé des distances bizarres, je vois pas ce que c'est cette histoire de distance sous-jacente vient faire ...), et ça n'a alors rien à voir avec la variété, ce serait vrai en n'importe quel point de l'espace ambiant avec n'importe quel ensemble $D$, et pour n'importe quelle direction $v$.
Donc en gros tu te demandes pourquoi $d(x+tv,D)=O(t)$. Bah $d(x+tv,D) \leq d(x+tv,x) = t\Vert v \Vert = O(t)$.
Bref, encore un énoncé hyper louche et même faux a priori. Tu sais au moins vraiment ce que tu veux démontrer ? Tu pourrais recopier correctement l'exo ?
Oui ok, mais généralement on garde la même notation, on parle pas de $\delta$ puis de $d$. Parler de distance induite dans ce contexte ça me fait plus penser à la distance induite par la distance euclidienne de $\R^n$ d'une variété riemannienne plongée dans $\R^n$, mais ce n'est pas le contexte ici (ne serait-ce que parce que $x+tv$ n'appartient pas à la variété).
Bah d'après moi la question n'a aucun rapport avec la moindre variété. $x+tv$ est dans l'espace ambiant, pas sur la variété, ou alors l'énoncé est une fois de plus pas clair du tout. Si je l'interprète bien (je peux me planter complètement, je ne suis pas versé dans la géométrie diff) l'énoncé est trivial et n'a aucun rapport avec la structure de $D$.
???
L'énonce de départ contient au moins deux fautes (mélange de notation, inversion $o$ et $O$), j'essaye d'aider au mieux, je donne une réponse selon mon interprétation, et c'est moi qui irait pas bien ? Bah je vous laisse vous débrouiller alors, votre aide sera plus utile que la mienne de toute façon.
@skyffer : déjà, ça serait mieux de ne pas confondre grand $O$ et petit $o$ ...
Le premier message et le titre parlent de $o$, ce qui est bien sûr la question pertinente, et toi tu réponds au sujet de $O$.
@skyffer3 : la question n'est pas d'obtenir $d(x+tv, D)=o(t)$ pour $x \in D$ et $v$ quelconque, la question est d'obtenir ceci lorsque $D$ est une sous-variété de $\mathbb R^n$ disons et $v$ est dans l'espace tangent en $x$ !
Bah GBZM je ne confonds pas, puisque j'indique clairement que ça me paraissait douteux (et vu que l'énoncé comportait d'autres fautes excuse moi de m'interroger ...). Alors je me trompe, je l'ai dit je ne suis pas spécialiste, mais je ne vois pas l'intérêt de me tomber dessus de manière condescendante comme tu le fais alors que j'étais le seul à m’intéresser à son problème jusque là ...
@Poirot : si c'est vrai pour $v$ quelconque c'est vrai pour $v$ dans l'espace tangent (je parle de la version avec grand $O$). Maintenant si l'énoncé parle vraiment d'un petit $o$, et GBZM confirme que ce n'est pas une erreur, alors je suis passé à côté. Ça peut arriver, j'étais tout à fait conscient de mes limites en géométrie différentielle mais j'ai au moins essayé d'aider. A y réfléchir ça paraît effectivement plus pertinent.
Si une mouche me pique dès que je fais une erreur alors je dois avoir beaucoup de boutons ...
L'énoncé est un peu flou, tu recopies un truc vu ailleurs ou bien t'es parfaitement au clair avec les objets dont tu parles ? ...
Bref, encore un énoncé hyper louche et même faux a priori. Tu sais au moins vraiment ce que tu veux démontrer ? Tu pourrais recopier correctement l'exo ?
et autres aides du même genre.
Tu es passé à côté OK, ça arrive, mais ce n'est pas une raison pour engueuler le questionneur.
Bah excuse moi mais avant de me demander de me relire et de me tomber dessus commence par relire ce que l'auteur a écrit. Il commence par mélanger des notations, il parle de "variété" au lieu de sous-variété de $\R^n$, la distance $d$ sortait de nulle part, etc.
Quand je vois un énoncé mal posé je me permets de mettre en doute le reste, même si en l’occurrence j'avais tort. Je n'ai engueulé personne, mais ne me fais pas croire que son exo était posé tel quel.
PS : au lieu de citer juste un passage, tu pourrais voir que je proposais aussi une solution. Certes sans intérêt puisque j'avais mal compris le problème, mais ne fais pas semblant que j'ai juste gueulé sans rien essayer ...
Avec l'indication de GBZM et un coup de Taylor ça a l'air de marcher mais je n'ai pas rédigé. En tout cas désolé de t'avoir induit en erreur. Il n'empêche que c'est toujours mieux de rédiger des énoncés propres, au cas où des gens sans le background s'intéressent au problème (comme moi).
Comme je l'indiquais, je n'ai pas rédigé de preuve. L'idée que je n'ai pas rédigée c'est que le distance à la variété est inférieure à la distance orthogonale au graphe (le vecteur tangent appartient par définition au domaine de cette paramétrisation), si on prend la paramétrisation de GBZM. Or au point $x$ la différentielle est nulle avec cette paramétrisation, avec Taylor le graphe s'approche donc en $o(t)$.
Je pense que ce que tu cherches c'est la proposition 6 dans : https://perso.univ-rennes1.fr/ismael.bailleul/files/CoursSousVarietes.pdf
Reste juste à voir que la différentielle est bien nulle en $x$ (en $0$ dans la proposition 6) avec cette paramétrisation, mais ça ne paraît pas poser de difficulté par définition du plan tangent (les dérivées directionnelles sont nulles). Taylor termine le travail (le graphe est une application $C^1$).
Edit : je suis tout à fait conscient que je n'ai toujours pas rédigé de preuve.
Mais comment définit-on l'espace tangent à $D$ en $x$ (en tant que sous-espace de $\R^n$) ? C'est bien l'image de la différentielle, non ? Dans ce cas, la différentielle approche justement les points à $o(t)$ près.
Pour prouver rigoureusement que la différentielle approche les points à $o(t)$ près je ne pense pas qu'on puisse se passer d'une paramétrisation pour pouvoir appliquer Taylor. Mais je peux me tromper. Dans tous les cas l'idée est la même.
Soit $x\in D$. J'admets la proposition suivante. Il existe un voisinage $U$ de $0$ dans l'espace vectoriel $T_x D$, et un voisinage $V$ de $x$ dans $\R^n$, et une application $C^1$ $f\colon U\to E$ où $E$ est un supplémentaire de $T_x D$ dans $\R^n$, tels que : pour tout $y\in D\cap V$, il existe $u\in U$ tel que $x+(u,f(u)) = y$
Alors il est facile de voir que $f(0) = 0$.
Soit $v \in T_x D$. Soit $g\colon t \mapsto (tv,f(tv))$. Par définition de $T_x D$, l'image de la dérivée de $g$ en $0$ appartient à $T_x D$, et donc la dérivée directionnelle par rapport à $t$ $D_0 f (tv) = 0$ car $D_0 f (tv) \in E$.
J'ai fait quelques abus de notations. Tantôt je vois $tv$ comme un élément de $\R^n$ et tantôt comme un élément de $T_x D$, et les différentielles $D$ sont en fait des dérivées d'une application de $t$. Je considère $T_x D$ comme un espace vectoriel, et non pas un espace affine passant en $x$ (j'ai pas vérifié les définitions donc je m'écarte peut-être des définitions classiques).
Bien sûr, des erreurs sont fort probables, je n'ai pas encore rédigé tout parfaitement, j'ai juste fait un effort pour mieux exprimer mon idée.
Je me trompe peut-être, mais je pense que ça vient juste de la définition du fait que $D \to \R^n$ est différentiable. On écrit le plongement dans une carte locale autour de $x$ et la différentielle approche la fonction à $o(\dots)$ près.
Rien ne t'empêche de nous l'écrire alors ! Je ne suis pas convaincu par ta démonstration, en l'état rien n'est rédigé (je ne dis pas que moi c'est beaucoup mieux :-P mais j'essayé de faire une démonstration formelle).
$\newcommand{\df}{\mathrm{d}\!f}$Soit $U \subseteq \R^m$ et $V \subseteq \R^n$ deux voisinages ouverts de $0$. Soit $f : U \to V$ différentiable telle que $f(0)=0$. La définition de "différentiable en $0$" est qu'il existe une application linéaire $\df : \R^m \to \R^n$ qui approche $f(x)$ à $o(x)$ près. Si on prend $x \in \R^m$, alors $\df(x) - f(x) = o(x)$. Étant donné $v$ dans $\R^m$, on a donc $\DeclareMathOperator{\Img}{img}d(t \df(v),\Img(f)) \leq d(\df(tv), f(tv)) = o(tv) = o(t)$.
Soit $f : D \to \R^n$ différentiable. Soit $x \in D$ et soit $p : U \to D$ une paramétrisation locale en $x$, envoyant $0 \in U$ sur $x$, etc. (je ne sais pas quel est le vocabulaire standard pour dire ça) Alors l'image de $f$ contient l'image de $p f$. Si on identifie $T_D(x)$ à $\R^m$ via $U$, alors la différentielle en $x$ est la différentielle de $p f$. Par ce qui précède, étant donné $v \in T_D(x)$, la distance entre $t \df(v)$ et $\Img(p f)$ est en $o(t)$, donc aussi celle entre $t \df(v)$ et $\Img(f)$.
@gebrane $D$ est l'image de $f$. Ensuite $v$ est dans l'image de $\df$, donc on peut choisir un antécédent. Puis j'ai oublié de dire qu'on prend $f(x)$ comme origine dans $\R^n$.
Excusez-moi je ne reprends le fil que maintenant (j'ai été un peu secoué par certains évènements dernièrement). Bref je vais reprendre tout ça calmement. Malheureusement j'ai une petite priorité sur un projet d'apprentissage stat. à rendre prochainement; donc je ne reprendrai sans doute pas avant ce week-end sur ce problème qui m'a pas mal occupé l'esprit en m'intéressant à un cours d'optimisation.
Dans tous les cas je vous remercie tous pour votre aide et particulièrement @GaBuZoMeu pour avoir précisé le problème et @Skyffer pour son investissement (je ne suis moi non plus pas du tout compétent voir totalement ignorant sur les notions de géométrie différentielle et il est possible que le problème de départ fut très ambigu voir mal posé).
Réponses
Au passage, ça n'a aucun sens de parler de distance euclidienne dans une variété différentielle quelconque (sauf peut-être à utiliser un théorème de plongement mais là ça me dépasse). J'ai pourtant explicitement demandé si tu parlais de sous-variété, ce n'était pas pour rien. Maintenant tu parles peut-être de variété (métrisable) dont une métrique qui engendre sa topologie est $d$ ? Ou de sous-variété, c'est-à-dire de variété plongée dans $\R^n$ ?
Bref, je suis pas du tout connaisseur, mais je pense que tu n'as pas écrit le vrai énoncé que tu voulais prouver.
$\delta(x+tv,D) $ représente la distance du point x+tv à la partie D avec $d$ la distance sous jacente à $\delta$ définie comme la distnce euclidienne dans $R^n$ et $v$ un vecteur de l'espace tangent. (maintenant plus d'amalgames possibles!)
Dans ce cas l'énoncé devient très simple si je l'ai bien compris (même si t'as encore mélangé des distances bizarres, je vois pas ce que c'est cette histoire de distance sous-jacente vient faire ...), et ça n'a alors rien à voir avec la variété, ce serait vrai en n'importe quel point de l'espace ambiant avec n'importe quel ensemble $D$, et pour n'importe quelle direction $v$.
Donc en gros tu te demandes pourquoi $d(x+tv,D)=O(t)$. Bah $d(x+tv,D) \leq d(x+tv,x) = t\Vert v \Vert = O(t)$.
Bref, encore un énoncé hyper louche et même faux a priori. Tu sais au moins vraiment ce que tu veux démontrer ? Tu pourrais recopier correctement l'exo ?
PS : même comme le graphe d'une fonction de l'espace tangent dans un supplémentaire orthogonal, par exemple.
L'énonce de départ contient au moins deux fautes (mélange de notation, inversion $o$ et $O$), j'essaye d'aider au mieux, je donne une réponse selon mon interprétation, et c'est moi qui irait pas bien ? Bah je vous laisse vous débrouiller alors, votre aide sera plus utile que la mienne de toute façon.
Le premier message et le titre parlent de $o$, ce qui est bien sûr la question pertinente, et toi tu réponds au sujet de $O$.
@Poirot : si c'est vrai pour $v$ quelconque c'est vrai pour $v$ dans l'espace tangent (je parle de la version avec grand $O$). Maintenant si l'énoncé parle vraiment d'un petit $o$, et GBZM confirme que ce n'est pas une erreur, alors je suis passé à côté. Ça peut arriver, j'étais tout à fait conscient de mes limites en géométrie différentielle mais j'ai au moins essayé d'aider. A y réfléchir ça paraît effectivement plus pertinent.
Si une mouche me pique dès que je fais une erreur alors je dois avoir beaucoup de boutons ...
Tu es passé à côté OK, ça arrive, mais ce n'est pas une raison pour engueuler le questionneur.
Quand je vois un énoncé mal posé je me permets de mettre en doute le reste, même si en l’occurrence j'avais tort. Je n'ai engueulé personne, mais ne me fais pas croire que son exo était posé tel quel.
PS : au lieu de citer juste un passage, tu pourrais voir que je proposais aussi une solution. Certes sans intérêt puisque j'avais mal compris le problème, mais ne fais pas semblant que j'ai juste gueulé sans rien essayer ...
[Ici le "ne" n'est pas un "ne" explétif http://mamiehiou.over-blog.com/article-ne-expletif-quand-peut-on-l-employer-sans-que-je-ne-avant-que-je-ne-je-crains-que-tu-94163090.html. Il ne peut être omis. ;-) AD]
Puis-je voir ta preuve ( ça m’intéresse)
@Gabu
Peux-tu partager un peu de détails ( j'aimerais comprendre)
Reste juste à voir que la différentielle est bien nulle en $x$ (en $0$ dans la proposition 6) avec cette paramétrisation, mais ça ne paraît pas poser de difficulté par définition du plan tangent (les dérivées directionnelles sont nulles). Taylor termine le travail (le graphe est une application $C^1$).
Edit : je suis tout à fait conscient que je n'ai toujours pas rédigé de preuve.
Soit $x\in D$. J'admets la proposition suivante. Il existe un voisinage $U$ de $0$ dans l'espace vectoriel $T_x D$, et un voisinage $V$ de $x$ dans $\R^n$, et une application $C^1$ $f\colon U\to E$ où $E$ est un supplémentaire de $T_x D$ dans $\R^n$, tels que : pour tout $y\in D\cap V$, il existe $u\in U$ tel que $x+(u,f(u)) = y$
Alors il est facile de voir que $f(0) = 0$.
Soit $v \in T_x D$. Soit $g\colon t \mapsto (tv,f(tv))$. Par définition de $T_x D$, l'image de la dérivée de $g$ en $0$ appartient à $T_x D$, et donc la dérivée directionnelle par rapport à $t$ $D_0 f (tv) = 0$ car $D_0 f (tv) \in E$.
D'où $x+tv - (x+(tv,f(tv))) = (0,f(tv)) = (0, 0 + t.0 + o(t)) = o(t)$. Et donc $d(x+tv,D) \leq d(x+tv, x+(tv,f(tv))) = o(t)$.
J'ai fait quelques abus de notations. Tantôt je vois $tv$ comme un élément de $\R^n$ et tantôt comme un élément de $T_x D$, et les différentielles $D$ sont en fait des dérivées d'une application de $t$. Je considère $T_x D$ comme un espace vectoriel, et non pas un espace affine passant en $x$ (j'ai pas vérifié les définitions donc je m'écarte peut-être des définitions classiques).
Bien sûr, des erreurs sont fort probables, je n'ai pas encore rédigé tout parfaitement, j'ai juste fait un effort pour mieux exprimer mon idée.
EDIT : Ça dépend des définitions qu'on prend…
$\newcommand{\df}{\mathrm{d}\!f}$Soit $U \subseteq \R^m$ et $V \subseteq \R^n$ deux voisinages ouverts de $0$. Soit $f : U \to V$ différentiable telle que $f(0)=0$. La définition de "différentiable en $0$" est qu'il existe une application linéaire $\df : \R^m \to \R^n$ qui approche $f(x)$ à $o(x)$ près. Si on prend $x \in \R^m$, alors $\df(x) - f(x) = o(x)$. Étant donné $v$ dans $\R^m$, on a donc $\DeclareMathOperator{\Img}{img}d(t \df(v),\Img(f)) \leq d(\df(tv), f(tv)) = o(tv) = o(t)$.
Soit $f : D \to \R^n$ différentiable. Soit $x \in D$ et soit $p : U \to D$ une paramétrisation locale en $x$, envoyant $0 \in U$ sur $x$, etc. (je ne sais pas quel est le vocabulaire standard pour dire ça) Alors l'image de $f$ contient l'image de $p f$. Si on identifie $T_D(x)$ à $\R^m$ via $U$, alors la différentielle en $x$ est la différentielle de $p f$. Par ce qui précède, étant donné $v \in T_D(x)$, la distance entre $t \df(v)$ et $\Img(p f)$ est en $o(t)$, donc aussi celle entre $t \df(v)$ et $\Img(f)$.
Pourquoi pour démontrer que $d(x+tv,D)=o(t)$ il suffit de démontrer $d(t df(v),Img(f)) = o(t)$
Mais je vais m’éclipser, c'est à l'auteur du fil de réagir
( je vais reprendre ce problème quand j'aurais plus du temps)
Dans tous les cas je vous remercie tous pour votre aide et particulièrement @GaBuZoMeu pour avoir précisé le problème et @Skyffer pour son investissement (je ne suis moi non plus pas du tout compétent voir totalement ignorant sur les notions de géométrie différentielle et il est possible que le problème de départ fut très ambigu voir mal posé).