Deux propriétés et lemme de Croft

Bonjour à tous,

Voici un problème : Il faut montrer l'équivalence des deux propositions suivantes

P 1 Il existe un ouvert U de R+ tel que, pour tout x de R*+, l’ensemble U inter xN est fini.

P2 Il existe f:R+ --> R continue telle que:Quel que soit x de R*+ : lim f(nx)=0 mais telle que f n’ait pas de limite en plus l'infini.

Alors j'aurais besoin d'aide pour formaliser la réponse et lancer le raisonnement, en pensant que cette dernière est corrélée au théorème de Baire et au lemme de Croft.

Merci d'avance