interprétation coût de production
Bonsoir,
On considère la production d'u bien $X$, dont le coût de production total en fonction de la quantité $q$ produite est donné par:
$C_T(q)=q^3-6q^2+12q$
Question: Etudier la convexité de $C_T$ dans $[0,+\infty[$. Interpréter le résultat.
J'ai calculé $C_T''(q)=6q-12$ donc $C_T$ est concave sur $[0,2]$ et convexe sur $[2,+\infty[$
mais je ne sais pas comment interpréter le résultat.
Merci de m'aider.
On considère la production d'u bien $X$, dont le coût de production total en fonction de la quantité $q$ produite est donné par:
$C_T(q)=q^3-6q^2+12q$
Question: Etudier la convexité de $C_T$ dans $[0,+\infty[$. Interpréter le résultat.
J'ai calculé $C_T''(q)=6q-12$ donc $C_T$ est concave sur $[0,2]$ et convexe sur $[2,+\infty[$
mais je ne sais pas comment interpréter le résultat.
Merci de m'aider.
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Réponses
Que signifient la concavité et la convexité d'une fonction, que peut-on dire de sa représentation graphique ?
Merci.
En n la tendance est donnée par la tangente, mais la réalisation effective par la courbe, qui lui est supérieure. Chaque unité supplémentaire est de plus en plus chère, c'est le contraire de l'économie d'échelle.
Alors que dans l'intervalle où la courbe est concave l'unité supplémentaire est moins chère. Mais cet intervalle est très réduit.
Tu peux calculer le coût unitaire de la production totale en fonction de la quantité produite et le mettre en perspective avec la concavité-convexité de la fonction.
Le coût unitaire diminue pour $q\in[0,2]$ et augmente pour $q\in[2,+\infty[$ ?
Le coût unitaire de la production totale passe, lui, par un minimum pour 3 unités produites.
On peut remarquer que pour une production industrielle, de masse, cela ne convient guère.
On peut s'amuser à calculer le coût de chaque unité supplémentaire, pour bien comprendre ce qui se passe, soit donc le calcul de f(n) - f(n-1). On constate qu'on obtient 7 pour la première unité, 1 pour chacune des unités suivantes (ce qui concorde avec le minimum du coût unitaire pour 3 unités), puis 7 à nouveau pour la 4ème unité, puis de plus en plus cher (19, puis 37, etc).
Bonne soirée à toi.
Dans cet énoncé, la formule du coût total de production est
CT(q) q ³ - 6 q² + 12 q
avec q = la quantité produite
Dans une entreprise, en France, les coûts de production comprennent, aussi, en autres :
* les primes d'assurance
* documentation générale fiscale et sociale
* honoraires de l'expert-comptable, commissaire aux comptes, conseiller juridique, avocat, huissier
* frais sur emprunts
* locations de coffre
* la contribution économique territoriale
* taxe foncière
* taxe sur les véhicules de sociétés
* supplement familial versé aux salariés
* versement aux comités d'entreprises et d'établissement
* versements aux comités d'hygiène et de sécurité
* médecine du travail
*etc etc
Tous ces frais ne sont pas PROPORTIONNELS aux quantités produites.
Il s'agit de "FRAIS FIXES" qui ne sont pas compris dans la formule du coût total de prodeuction de cet exercice……
NAIMA 12 on vous demande de résoudre ce problème dans le cadre de quelles études ?
a) CT(q) = Coût total de production pour "q" produits
(Mais alors quels coûts si on "oublie" les frais fixes" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
b) CM(q) = Coût moyen unitaire pour la production de "q" produits
CM (q) = CT(q) / q
c) Cm (q) = Coût marginal pour le "q ième" produit
Cm (q) = CT (q) - CT (q-1)
II - APPLICATIONS NUMERIQUES
Quand q = 1 , on a CT (q) = 7 et le coût moyen est de 7 et le coût marginal est 7
Quand q = 2 , on a CT (q) = 8 et le coût moyen est de 4 et le coût marginal est 1
Quand q = 3 , on a CT (q) = 9 et le coût moyen est de 3 et le coût marginal est 1
Quand q = 4 , on a CT (q) = 16 et le coût moyen est de 4 et le coût marginal est 7
Quand q = 5 , on a CT (q) = 35 et le coût moyen est de 7 et le coût marginal est 19
Quand q = 6 , on a CT (q) = 72 et le coût moyen est de 12 et le coût marginal est 37
Quand q = 7 , on a CT (q) = 133 et le coût moyen est de 19 et le coût marginal est 61
Quand q = 8 , on a CT (q) = 224 et le coût moyen est de 28 et le coût marginal est 91
Quand q = 9 , on a CT (q) = 351 et le coût moyen est de 39 et le coût marginal est 127
Quand q = 10 , on a CT (q) = 520 et le coût moyen est de 52 et le coût marginal est 169
Quand q = 11 , on a CT (q) = 737 et le coût moyen est de 67 et le coût marginal est 217
Quand q = 12 , on a CT (q) = 1008 et le coût moyen est de 84 et le coût marginal est 271
Quand q = 13 , on a CT (q) = 1339 et le coût moyen est de 103 et le coût marginal est 331
Quand q = 14 , on a CT (q) = 1736 et le coût moyen est de 124 et le coût marginal est 397
attention ! le coût marginal ne coïncide pas en général avec le coût unitaire
ici dans l'exemple de Naima le coût total est $C_T(q) = q^3 - 6q^2 + 12q$
le coût moyen unitaire est $C_M(q) = \frac{C_T(q)}{q} = q^2 - 6q + 12$
dont le minimum est égal à 3 atteint pour q = 3
le coût marginal est la dérivée du coût total soit $C_m(q) = 3q^2 - 12q + 12 = 3(q - 2)^2$
et la dérivée seconde du coût total est $C"_T(q) = 6q - 12$
le coût total est une fonction monotone croissante de q
et sa courbe représentative est concave pour 0 < q < 2 et convexe pour q > 2
si le chiffre d'affaires est $CA(q) = 4q$ dont la courbe représentative est une droite
passant par l'origine et par le point d'inflexion de la cubique représentant le coût total
on s'aperçoit que le bénéfice sera positif seulement si 2 < q < 4
parce que justement la courbe de coût total est convexe, sinon la bénéfice est négatif pour 0 < q < 2
donc la concavité de la courbe de coût total est importante
pour l'établissement de la plage de production correspondant à un bénéfice positif
cordialement