interprétation coût de production

naima12
naima12
dans Analyse
Bonsoir,

On considère la production d'u bien $X$, dont le coût de production total en fonction de la quantité $q$ produite est donné par:

$C_T(q)=q^3-6q^2+12q$

Question: Etudier la convexité de $C_T$ dans $[0,+\infty[$. Interpréter le résultat.

J'ai calculé $C_T''(q)=6q-12$ donc $C_T$ est concave sur $[0,2]$ et convexe sur $[2,+\infty[$

mais je ne sais pas comment interpréter le résultat.

Merci de m'aider.

Réponses

  • Félix
    Félix
    Bonsoir Naima12,

    Que signifient la concavité et la convexité d'une fonction, que peut-on dire de sa représentation graphique ?
  • naima12
    naima12
    f est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes. Mais que puis-je dire comme interprétation ?

    Merci.
  • Félix
    Félix
    Oui, pour une fonction convexe la courbe est au-dessus de la tangente. Prenons celle-ci et décalons-nous d'un cran vers la droite, d'une unité dans le sens des abscisses croissantes. Nous avons augmenté la production d'une unité, le coût de la production avec le coût unitaire précédent est sur la tangente, celui de la production effective est sur la courbe, au-dessus. Quelle conclusion pouvons-nous en tirer pour le coût unitaire de la production de cette (n+1)ième unité ? Pour l'évolution du coût unitaire en fonction de la quantité produite ?
  • naima12
    naima12
    le coût unitaire c'est le coût marginal?
  • Félix
    Félix
    Oui, j'aurais dû dire plutôt coût d'une unité supplémentaire.
    En n la tendance est donnée par la tangente, mais la réalisation effective par la courbe, qui lui est supérieure. Chaque unité supplémentaire est de plus en plus chère, c'est le contraire de l'économie d'échelle.
    Alors que dans l'intervalle où la courbe est concave l'unité supplémentaire est moins chère. Mais cet intervalle est très réduit.

    Tu peux calculer le coût unitaire de la production totale en fonction de la quantité produite et le mettre en perspective avec la concavité-convexité de la fonction.
  • naima12
    naima12
    Puis- je interpréter comme suit.

    Le coût unitaire diminue pour $q\in[0,2]$ et augmente pour $q\in[2,+\infty[$ ?
  • Félix
    Félix
    A condition de dire plutôt coût d'une unité supplémentaire, ou coût marginal de production.
    Le coût unitaire de la production totale passe, lui, par un minimum pour 3 unités produites.
    On peut remarquer que pour une production industrielle, de masse, cela ne convient guère.

    On peut s'amuser à calculer le coût de chaque unité supplémentaire, pour bien comprendre ce qui se passe, soit donc le calcul de f(n) - f(n-1). On constate qu'on obtient 7 pour la première unité, 1 pour chacune des unités suivantes (ce qui concorde avec le minimum du coût unitaire pour 3 unités), puis 7 à nouveau pour la 4ème unité, puis de plus en plus cher (19, puis 37, etc).

    Bonne soirée à toi.
  • et si demain
    et si demain
    Pour NAIMA 12


    Dans cet énoncé, la formule du coût total de production est

    CT(q) q ³ - 6 q² + 12 q

    avec q = la quantité produite


    Dans une entreprise, en France, les coûts de production comprennent, aussi, en autres :

    * les primes d'assurance
    * documentation générale fiscale et sociale
    * honoraires de l'expert-comptable, commissaire aux comptes, conseiller juridique, avocat, huissier
    * frais sur emprunts
    * locations de coffre
    * la contribution économique territoriale
    * taxe foncière
    * taxe sur les véhicules de sociétés
    * supplement familial versé aux salariés
    * versement aux comités d'entreprises et d'établissement
    * versements aux comités d'hygiène et de sécurité
    * médecine du travail
    *etc etc

    Tous ces frais ne sont pas PROPORTIONNELS aux quantités produites.

    Il s'agit de "FRAIS FIXES" qui ne sont pas compris dans la formule du coût total de prodeuction de cet exercice……

    NAIMA 12 on vous demande de résoudre ce problème dans le cadre de quelles études ?
  • roumegaire
    roumegaire
    Je parierais sur un exercice de Terminale ES. Felix a, je pense, bien expliqué ce qui était attendu ici.
  • et si demain
    et si demain
    I - DEFINITIONS


    a) CT(q) = Coût total de production pour "q" produits
    (Mais alors quels coûts si on "oublie" les frais fixes" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)

    b) CM(q) = Coût moyen unitaire pour la production de "q" produits
    CM (q) = CT(q) / q

    c) Cm (q) = Coût marginal pour le "q ième" produit
    Cm (q) = CT (q) - CT (q-1)

    II - APPLICATIONS NUMERIQUES

    Quand q = 1 , on a CT (q) = 7 et le coût moyen est de 7 et le coût marginal est 7
    Quand q = 2 , on a CT (q) = 8 et le coût moyen est de 4 et le coût marginal est 1
    Quand q = 3 , on a CT (q) = 9 et le coût moyen est de 3 et le coût marginal est 1
    Quand q = 4 , on a CT (q) = 16 et le coût moyen est de 4 et le coût marginal est 7
    Quand q = 5 , on a CT (q) = 35 et le coût moyen est de 7 et le coût marginal est 19
    Quand q = 6 , on a CT (q) = 72 et le coût moyen est de 12 et le coût marginal est 37
    Quand q = 7 , on a CT (q) = 133 et le coût moyen est de 19 et le coût marginal est 61
    Quand q = 8 , on a CT (q) = 224 et le coût moyen est de 28 et le coût marginal est 91
    Quand q = 9 , on a CT (q) = 351 et le coût moyen est de 39 et le coût marginal est 127
    Quand q = 10 , on a CT (q) = 520 et le coût moyen est de 52 et le coût marginal est 169
    Quand q = 11 , on a CT (q) = 737 et le coût moyen est de 67 et le coût marginal est 217
    Quand q = 12 , on a CT (q) = 1008 et le coût moyen est de 84 et le coût marginal est 271
    Quand q = 13 , on a CT (q) = 1339 et le coût moyen est de 103 et le coût marginal est 331
    Quand q = 14 , on a CT (q) = 1736 et le coût moyen est de 124 et le coût marginal est 397
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    attention ! le coût marginal ne coïncide pas en général avec le coût unitaire

    ici dans l'exemple de Naima le coût total est $C_T(q) = q^3 - 6q^2 + 12q$

    le coût moyen unitaire est $C_M(q) = \frac{C_T(q)}{q} = q^2 - 6q + 12$
    dont le minimum est égal à 3 atteint pour q = 3

    le coût marginal est la dérivée du coût total soit $C_m(q) = 3q^2 - 12q + 12 = 3(q - 2)^2$

    et la dérivée seconde du coût total est $C"_T(q) = 6q - 12$

    le coût total est une fonction monotone croissante de q
    et sa courbe représentative est concave pour 0 < q < 2 et convexe pour q > 2

    si le chiffre d'affaires est $CA(q) = 4q$ dont la courbe représentative est une droite
    passant par l'origine et par le point d'inflexion de la cubique représentant le coût total

    on s'aperçoit que le bénéfice sera positif seulement si 2 < q < 4
    parce que justement la courbe de coût total est convexe, sinon la bénéfice est négatif pour 0 < q < 2

    donc la concavité de la courbe de coût total est importante
    pour l'établissement de la plage de production correspondant à un bénéfice positif

    cordialement
  • Félix
    Félix
    Nous n'avons pas connaissance du prix de vente, difficile de pouvoir parler de bénéfice...
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