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suite concave

Envoyé par mustapha 
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
@musta

Dans ce message [www.les-mathematiques.net] tu trouves $$u_{n}=u_{0}r_{1}^{n}+\sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1}-r_{1}u_{k})r_{1}^{n-k}$$

Apres comment tu conclus que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ ou converge?

edit tu n'as pas prouver que le signe des $(u_{k+1}-r_{1}u_{k})$ est constant sauf si je suis aveugle

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par gebrane.
Re: suite concave
il y a deux années
j'ai pas écrit, mais je pense qu'en remplaçant on obtient l'expression en fonction de $b_n$ qui est positive des racines $r_1, r_2$.
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
Veux-tu (pour les visiteurs) corriger ta faute de frappe "Posons $a_{n+1}=u_{n+1}-r_{1}u_{n}$" par "$a_{n}=u_{n+1}-r_{1}u_{n}$" j'ai perdu un temps pour voir que c'est une faute de frappe.
J'aime ton raisonnement quand tu dis je pense winking smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: suite concave
il y a deux années
Mais bon pourquoi s'embêter à essayer faire une preuve "piétonne" alors qu'il existe une méthode toute faite, où on peut débrancher son cerveau ^^ Moi, j'aime bien :p
Re: suite concave
il y a deux années
... déjà étudié, merci.
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
@BobbyJoe

La curiosité ça paie grinning smiley, je veux juste comprendre les différentes méthodes. La méthode de mustapha coince avant la ligne d'arrivéegrinning smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: suite concave
il y a deux années
Elle marche mais, c'est juste plus technique.... Il faut plutôt savoir résoudre $u_{n+1}-\alpha u_{n}=\gamma_{n}$ pour une suite $\gamma$ quelconque et ensuite réinjecter en procédant au bon téléscopage (on ne simule essentiellement que la méthode la variation de la constante, du moins l'analogue discret).
Re: suite concave
il y a deux années
En général si $x_{n+1}+ax_n$ tend vers $+\infty$, on a pas nécessairement $x_n$ tend vers $+\infty$
Il suffit de prendre $x_n=-ln(n)$ lorsque $a$ est positif. ( a dans l'intervalle ouvert 0,1).
Comme vous avez dit la monotonie doit être l'hypothèse à exploiter
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
@mustapha si $x_n=-ln(n)$ alors $x_{n+1}+ax_n$ tend plutôt vers $-\infty$, non?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: suite concave
il y a deux années
Oui c'est fait merci de m'avoir signalé



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: suite concave
il y a deux années
oui je parle de l'exercice ici, on veux que la suite tende vers $+\infty$
Re: suite concave
il y a deux années
La résolution de l'équation est simple, il suffit d'utiliser lorsque $\alpha$ est non nul que : $\frac{u_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\frac{u_n}{\alpha^n}=\frac{\gamma_{n+1}}{\alpha^{n+1}}$.
Puis de faire la somme
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
Il reste à terminer la deuxième méthode de Chaurien, mais j'ai la flemme pour le moment.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: suite concave
il y a deux années
... on veut que la suite tende ...
... merci de m'avoir signalé ...
Re: suite concave
il y a deux années
je viens de terminer l'idée de Chaurien
Re: suite concave
il y a deux années
Je reviens sur l'idée de Chaudin

Je vais supposer que pour tout $n\geq 0,u_{n}\geq 0$ , sinon on se ramène au cas précédent en considérant $t_{n}=u_{n}-m$

où $m=\min \left( u_{0},u_{1}\right) $ , cette suite vérifie la même inégalité puis à l'aide d'une récurrence on a $
t_{n}\geq 0.$


Supposons alors que pour tout $n\geq 0~,u_{n}\geq 0.$

La suite $w_{n}=u_{n+1}+\left( 1-\lambda \right) u_{n}$ est croissante . On
a va montrer que si $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=+\infty $,
alors $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty .$

Pour cela je vais établir l'inégalité suivante :
\begin{equation*}
w_{n}\leq \alpha u_{n+2}\text{ où }\alpha =\max \left( \dfrac{2-\lambda
}{\lambda },\dfrac{2-\lambda }{1-\lambda }\right)
\end{equation*}

On a $w_{n}=u_{n+1}+\left( 1-\lambda \right) u_{n}$

Si $u_{n+1}\leq u_{n}$ alors $w_{n}\leq \left( 2-\lambda \right) u_{n}$

D'autre part $\lambda u_{n}\leq \lambda u_{n}+\left( 1-\lambda \right)
u_{n+1}\leq u_{n+2}$ donc $u_{n}\leq \dfrac{1}{\lambda }u_{n+2}$ , ce qui
donne que $w_{n}\leq \dfrac{2-\lambda }{\lambda }u_{n+2}\leq \alpha u_{n+2}.$

Si $u_{n}\leq u_{n+1}$, alors $w_{n}\leq \left( 2-\lambda \right)
u_{n+1}.$

D'autre part $\left( 1-\lambda \right) u_{n+1}\leq \lambda u_{n}+\left(
1-\lambda \right) u_{n+1}\leq u_{n+2}$ , donc $u_{n+1}\leq \dfrac{1}{%
1-\lambda }u_{n+2},$ce qui donne que $w_{n}\leq \dfrac{2-\lambda }{1-\lambda
}u_{n+2}\leq \alpha u_{n+2}.$

Donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $w_{n}\leq \alpha u_{n+2}$

Par suite $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty $
Re: suite concave
il y a deux années
avatar
Belle preuve. tu as de l'imagination

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
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