suite concave

j'ai pas écrit, mais je pense qu'en remplaçant on obtient l'expression en fonction de $b_n$ qui est positive des racines $r_1, r_2$.

En général si $x_{n+1}+ax_n$ tend vers $+\infty$, on a pas nécessairement $x_n$ tend vers $+\infty$
Il suffit de prendre $x_n=-ln(n)$ lorsque $a$ est positif. ( a dans l'intervalle ouvert 0,1).
Comme vous avez dit la monotonie doit être l'hypothèse à exploiter

Oui c'est fait merci de m'avoir signalé

La résolution de l'équation est simple, il suffit d'utiliser lorsque $\alpha$ est non nul que : $\frac{u_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\frac{u_n}{\alpha^n}=\frac{\gamma_{n+1}}{\alpha^{n+1}}$.
Puis de faire la somme

Je reviens sur l'idée de Chaudin

Je vais supposer que pour tout $n\geq 0,u_{n}\geq 0$ , sinon on se ramène au cas précédent en considérant $t_{n}=u_{n}-m$

où $m=\min \left( u_{0},u_{1}\right) $ , cette suite vérifie la même inégalité puis à l'aide d'une récurrence on a $
t_{n}\geq 0.$


Supposons alors que pour tout $n\geq 0~,u_{n}\geq 0.$

La suite $w_{n}=u_{n+1}+\left( 1-\lambda \right) u_{n}$ est croissante . On
a va montrer que si $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=+\infty $,
alors $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty .$

Pour cela je vais établir l'inégalité suivante :
\begin{equation*}
w_{n}\leq \alpha u_{n+2}\text{ où }\alpha =\max \left( \dfrac{2-\lambda
}{\lambda },\dfrac{2-\lambda }{1-\lambda }\right)
\end{equation*}

On a $w_{n}=u_{n+1}+\left( 1-\lambda \right) u_{n}$

Si $u_{n+1}\leq u_{n}$ alors $w_{n}\leq \left( 2-\lambda \right) u_{n}$

D'autre part $\lambda u_{n}\leq \lambda u_{n}+\left( 1-\lambda \right)
u_{n+1}\leq u_{n+2}$ donc $u_{n}\leq \dfrac{1}{\lambda }u_{n+2}$ , ce qui
donne que $w_{n}\leq \dfrac{2-\lambda }{\lambda }u_{n+2}\leq \alpha u_{n+2}.$

Si $u_{n}\leq u_{n+1}$, alors $w_{n}\leq \left( 2-\lambda \right)
u_{n+1}.$

D'autre part $\left( 1-\lambda \right) u_{n+1}\leq \lambda u_{n}+\left(
1-\lambda \right) u_{n+1}\leq u_{n+2}$ , donc $u_{n+1}\leq \dfrac{1}{%
1-\lambda }u_{n+2},$ce qui donne que $w_{n}\leq \dfrac{2-\lambda }{1-\lambda
}u_{n+2}\leq \alpha u_{n+2}.$

Donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $w_{n}\leq \alpha u_{n+2}$

Par suite $\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty $