Transport optimal 1D

Bonjour à tous,

Soit $\phi$ une fonction réelle convexe, positive, nulle en $0$. Soit $x,y$ deux vecteurs de $\R^n$. Comment montrer que la permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ qui minimise $\sum_{i=1}^n \phi(|x_i - y_{\sigma(i)}|)$ est $\sigma_y\circ\sigma_x^{-1}$ où $\sigma_x,\sigma_y$ sont les deux permutations qui classent les éléments de $x,y$ par ordre croissant ?

En résumé comment montrer que le minimum de la somme est atteint quand on compare les éléments de $x$ et $y$ classés par ordre croissant (ou décroissant c'est équivalent).

Merci d'avance de votre aide,

NB : L'hypothèse sur $\phi$ est incertaine. J'ai vu l'énoncé avec juste $\phi$ convexe mais c'est clairement faux alors j'ai essayé de rattraper le truc. Le cas qui m'intéresse surtout est $\phi(x)=|x|$ et $\phi(x)=x^2$.