Valeur absolue et intégration.

CechLM · November 2017

Salut à tous.

1) Existe-t-il une CNS pour que $|\int f | = \int |f|$. (Au sens de Riemann et au sens de Lebesgue).
Pouvez vous me l'expliciter et me la démontrer (ou me donner la démonstration en exercice niveau).

2) Même question pour les sommes.

gebrane · November 2017

Pour f continue sur [a,b], une condition nécessaire pour avoir $\displaystyle \left|\int_{[a,b]} f\right| = \int_{[a,b]} |f|$ est $|f|=f$ , non?

zeitnot · November 2017

Non, ce n'est pas nécessaire.

Dom · November 2017

On peut déjà "généraliser davantage", @gebrane, en ajoutant "ou $|f|=-f$".

Poirot · November 2017

Être d'argument constant est suffisant. Pour une fonction réelle, si on décompose sous la forme $f = f^+ - f^-$ on devrait trouver des choses intéressantes...

gebrane · November 2017

J'explique ou non que ma condition donnée plus haut est nécessaire?

gerard0 · November 2017

Gébrane,

bizarrement, je ne la trouve pas nécessaire (conséquence de l'égalité $|\int f | = \int |f|$), mais tout à fait suffisante.

A priori, je doute qu'il existe une condition nécessaire et suffisante. Plus gênant, il n'est pas dit sur quel domaine on intègre : à priori sur $\mathbb R$ pour Lebesgue, mais on pourrait se placer sur un autre domaine, à priori sur un intervalle fermé borné pour Riemann, ce qui est tout différent.

Cordialement.

gebrane · November 2017

@gerard0
corrige moi si j'ai déraillé . On impose des conditions sur f pour que $\int f$ existe est finie.
Si $\int f\geq 0$, alors la condition $|\int f|=\int |f|$ implique $\int (|f|-f)=0$
$|f|-f$ étant positive ( ou plus généralement positive pp) alors necessairement $|f|-f$ est nulle ( ou nulle presque partout) edit c'est à dire f positive (pp)
Si $\int f\leq 0$ on fait le meme raisonnement avec $g=-f$ car aussi $|\int g|=\int |g|$ edit c'est à dire g positive (pp) et donc f negative (pp)

Je ne vois pas d'erreurs, mais on ne sait jamais :-D

edit il y a bien une erreur, résumons :
Si $\int f\geq 0$, on montre que f est positive ( ou positive pp)
Si $\int f\leq 0$, on montre que f est négative ( ou négative pp)
donc $$|\int f|=\int |f|\iff \text{f est du signe constant (pp)}$$