Convergence uniforme.

Bonsoir.

Soit $B$ la boule unité de $\Bbb{R}^2$ et $S$ sa frontière( c-a-d le cercle unité de $\Bbb{R}^2$).

Définissons $u$ sur $\overline{B}$ par: $u(x)=p(x)$ si $x\in B$ et $u(\theta)=f(\theta)$ si $\theta\in S$. (Les hypothèses de Dirichlet)

Autrement dit on peut définir $u$ comme suit:

$u(r\theta)=p(r\theta)$ si $0<=r<1$ avec $\theta\in S$ et $u(\theta)=f(\theta)$ si $\theta\in S$.

Maintenant je suppose que $u$ est continue sur le compact $\overline{B}$, donc par le Théorème de Heine elle y est uniformément continue, càd

$\forall \epsilon >0, \exists \delta>0, \forall \theta\in S: ||r\theta-\theta ||=|r-1|<\delta \Longrightarrow |p(r\theta) -f(\theta) |<=\epsilon$.

c-à-d

$\forall \epsilon >0, \exists \delta>0, ||r\theta-\theta||=|r-1|<\delta \Longrightarrow \forall\theta\in S |p(r\theta) -f(\theta) |<=\epsilon$.


J'ai déplacé "\forall\theta\in S" ceci est-il vrai, je vais juste le vérifier car $p \Longrightarrow q$ équivaut à ($ \overline{p}$ ou $q$).

Ainsi peut on dire que $p(r\theta)$ converge uniformément vers $f(\theta)$ quand $r\to 1^{-}$.


Merci d'avance.