Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
224 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Exercice sur les limites

Envoyé par Joulz 
Exercice sur les limites
il y a deux semaines
Bonjour
Je vous poste un exercice qui me pose problème. Voici l'énoncé.

Soient $a,b \geq 0$, $(x_k)_k$, $(y_k)_k$ deux suites dans $\mathbb R^n$ telles que $$\lim_{k\to \infty}||x_k-y_k|| = a\quad\text{ et }\quad\lim_{k\to\infty}||x_k+y_k|| = b.
$$ Pour quels $a,b$ pouvons-nous déduire que les limites $\lim\limits_{k\to\infty}||x_k||$ et $\lim\limits_{k\to\infty}||y_k||$ existent ?
Je ne vois même pas par où commencer... Si vous pouvez m'éclairer ce serait sympa.
Merci d'avance pour votre aide.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Ma participation grinning smiley

pour a=b=0 ça marche

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
Merci pour l'aide. Ce qui me pose problème c'est de montrer justement que de telles limites existent, en particulier pour a = b = 0. Je ne vois pas quelles propriétés utiliser (dois-je utiliser que N(x-y) = d(x,y), l'inégalité triangulaire...)
Cordialement,



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Joulz.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Si a=b=0 tu as $||x_n-y_n||^2+||x_n+y_n||^2=2(||x_n||^2+||y_n||^2)$ donc $(||x_n||^2+||y_n||^2$ tend vers 0, or
$0\leq ||x_n||^2 \leq ||x_n||^2+||y_n||^2$ donc $||x_n||$ tend vers 0 et de même pour $||y_n||$

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
ATTENTION: Je confond ici et dans le post d'aprés vecteurs et les réels a et b. Il faut se dire que a est un vecteur de norme a et b un vecteur de norme b.....
De toute façon je crois bien qu'on n'a pas vraiment besoin de cette construction.



Bonjour,
et ma participation:
2 choses:
1. Premièrement la somme et la différence de deux suites bornées est encore borné. Comme (xn - yn) et (xn+ yn) sont bornées alors en faisant las somme et la différence, on en conclut que (xn) et (yn) sont bornées. On peut alors éspérer utiliser Bolzano-Wierestrass.

2. Deuxièmement on peut écarter tous les a et b tq a soit différent de b
En effet considérer les deux suites suivantes.
X2n=a/2+b/2.
Y2n=b/2 - a/2.
Y2n+1 = X2n et X2n+1 =Y2n.

Alors la norme de la différence est constante égale à a et la norme de la somme est constante égale à b.
Mais les termes permutent et il est simple de voir que les normes de Xn ey de Yn n'admettent pas de limites. ( car a et b sont différents)
J'aurais fait le calcul mais je ne sais pas écrire en Latex.

En écrivant je me rends compte que ce deuxième point est certainement vrai pour des suites réelles mais j'ai des sérieux doutes sur sa véracité en dimension supérieure.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Phare.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Re

Je suis quasiment sur que ce deuxième contre-exemple tombe a l'eau si a et b sont orthogonaux (ce qui ne se passe pas souvent sur R spinning smiley sticking its tongue out )
Avec un peu de réflexion on peut peut-etre le sauver....
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Si a est différent de b, peut on toujours trouver deux vecteurs x et y tels que:
1. ||x-y||=a
2.||x+y||=b
3.||x|| différent de ||y||.

Si cela est possible le cas a différent de b est résolu
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Je ne comprends pas ton argument pour $a \ne b$ dans R. Prends par ex la suite $y_{k} = x_{k}$ avec $x_{k}$ convergente vers $l$. Alors leur différence tend vers 0 et leur somme tend vers $2l$.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
@rougemaire
De quel post tu parles?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Phare.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Up
Et le cas a=b strictement positifs est à écarter.
En effet soit e un vecteur unitaire
Considérons Xn et Yn définies par
X2n =a.e et X2n+1=0
Y2n=0 et Y2n+1=a.e
Alors ||Xn-Yn|| =a et ||Xn + Yn||=a pour tout n
Mais de nouveau les normes de Xn et Yn n'ont pas de limites.

C'est exactement la même idée que pour le cas a différent de b.
Il ne reste plus qu'à trouver les vecteurs x et y comme dans le post du haut



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
@phare
Dans le cas $a\neq b$ tu démontres quoi au juste, car rougemaire t'as exibé un exemple où les suites ||x_n|| et ||y_n|| converges

Je suis impatient de voir une participation de Dom, il aime ce genre de complications

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Mais la question est si je comprends bien pour quelles valeurs a et b a-t-on convergence des normes pour n'importe quelles suites.
Ai-je mal compris ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
@Phare

Je me répète, tu as démontré quoi au juste dans le cas $a\neq b$ ( tu as dis c'est réglé)

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Qu'il existe Xn et Yn deux suites vérifiant les hypothèses demandées mais telle que les normes des deux suites ne convergent pas.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
J'ai aussi répété plusieurs dois que ça ne valait que dans R. Mais on peut facilement le généraliser à n'importe quelle dimension en considérant des suites sur un sous-ev de dimension 1.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Ok, et on laisse Joulz réagir s'il n'est pas convaincu (de ma part, j'ai la flemme de regarder pour le moment )

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Je veux bien que tu m'expliques où tu vois un problème



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Phare.
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Je ne vois aucun problème car je n'ai pas regardé pour le moment ( manque du temps)

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
Bonsoir,

Si a est différent de b, ces limites n’existent pas c’est ça ?

Cordialement,
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
Pour résumer, le seul cas où on peut conclure c'est le cas de gebrane a=b=0
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
Merci c’est bien ce qu’il me semblait smiling smiley
Re: Exercice limites
il y a deux semaines
avatar
@Phare

Je viens de regarder ton raisonnement dans [www.les-mathematiques.net]
Si $a=0$ et $b=2$ Trouve moi ces deux vecteurs $X$ et $Y$ de normes distinctes.

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Effectivement le cas où a=0 est tricky.
On aura forcemment x=y.

Maintenant une dernière fois si a et b sont strictement positifs et que a est différent de b

Prenons e un vecteur unitaire.
Posons X2n= (a\2 + b\2).e Y2n=(b\2 -a\2).e
X2n+1 =Y2n et Y2n+1=X2n.
Alors la norme de Xn -Yn est constante égale à a
La norme de la somme est constante égale à b et cela pour tout n bien sur
Mais la norme de Xn par exemple vaut tantôt a\2 +b\2
Et tantôt |a\2-b\2 | qui sont bien différents à cause des hupothèses faites sur a et b.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Phare.
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
@Joulz

Je me suis trompé...

Voilà les cas où l'on ne peut pas conclure:
1. a=b strictement positifs.
2. a différent de b tous deux strictement positifs.

Il reste alors le cas ou l'un des deux est nul.

D'ailleurs est-ce un exercice où une question que tu t'es posé, parce que je ne vois aucune raison de croire que les normes vont converger....
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Finalement un autre cas où l'on peut conclure:
a=0 et b>0.
Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers b\2 ainsi que la norme de Yn.
On va alors utiliser B-W.

Premièrement: comme je l'ai déjà dis les deux suites sont bornées.

Deuxièmement: la relation norme de Xn -Yn tend vers 0 nous donne que l'ensemble des valeurs d'adhérence de Xn est égal à l'ensemble des valeurs d'adhérence de Yn.

3. La relation ||Xn+Yn|| tend vers b nous donne que toutes les valeurs d'adhérence de Xn se situent sur la sphère de rayon b\2.

4. On suppose alors par l'absurde que ||Xn|| ne converge pas vers b\2.
Cela nous donne l'existence d'un epsilon e >0 et d'une sous suite Xnk tq soit ||Xnk||<= (b\2)-e ou ||Xnk||>=(b\2)+e.

5. On a donc soit une infinité de termes de Xnk à l'intérieur de la boule où à l'exterieur. Supposons sans perte de généralité qu'il y'en aune infinité à l'exterieur.

6. N'oublions pas que Xn est bornée alors il en est de même pour les Xnk à l'exterieur de la boule. Alors une autre utilisation de B.W noua donne l'existence d'une sous suite Xnkj convergente mais qui vérifie ||Xnkj||>=(b\2)+e.
En passant a la limite on se retrouve avec une valeur d'adhérence qui n'appartient pas à la sphère.
ABSURDE
Donc la nirme de Xn et de Yn convergent vers b\2.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Phare.
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
@Phare
Une faute de frappe "Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers b"

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Tu ne vois pas ta faute?

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers $\frac b2$, non?

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Non non ça converge vers b.
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Prendre $X_n=Y_n=\frac b2$ alors $||X_n-Y_n||\to 0$ et $||X_n+Y_n||\to b$

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
Oui oui en effet faute de calcul, sinon le raisonnement reste correcte, merci.
Je vais changer le post.
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
@Phare
Ton raisonnement du cas $a=0$ et $b>0$ est très compliqué,on peut simplifier si tu es d'accord avec

Citation

Soit E un e.v.n . On suppose que $(u_n)$ tend vers $0_E$ et $||v_n||_E$ tend vers $l>0$ alors $||u_n+v_n||_E$ tend vers $l$

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Exercice sur les limites
il y a deux semaines
avatar
@Gebrane
Je trouvais la peuve assez visuelle mais bon...
En effet ta proposition est correcte:
Si Zn tend vers 0 et ||Wn||->l alors la norme de la somme tend vers l aussi:
| ||Zn+Wn|| -l | <= | ||Zn+Wn|| -||Wn|| | + | ||Wn|| - l | <= ||Zn|| + | ||Wn|| - l | ce qui tend bien vers 0.

En effet on peut en suite poser Zn =Xn- Yn et Wn= Xn+Yn pour retrouver le résultat.
Cela permet de ne pas utiliser B.-W.
Bien vu Gebrane.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Phare.
Re: Exercice sur les limites
il y a cinq jours
Bonsoir Gebrane

Ton choix de $\left( {{u}_{n}} \right)$ est en général ou bien c’est le cas de l’exercice c’est-à-dire ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ ?
Si c’est le cas de l’exercice, pourquoi supposes-tu ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ tends vers ${{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}}$ ? c’est la limite qu’on est en train de chercher dans le cas $a=0$ et. $b>0$ non ?
Re: Exercice sur les limites
il y a quatre jours
avatar
C'est bien expliqué dans le message de phare [www.les-mathematiques.net]

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 373, Messages: 1 187 592, Utilisateurs: 19 568.
Notre dernier utilisateur inscrit chaimaa.


Ce forum
Discussions: 26 676, Messages: 247 725.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page