Exercice sur les limites
Bonjour
Je vous poste un exercice qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soient $a,b \geq 0$, $(x_k)_k$, $(y_k)_k$ deux suites dans $\mathbb R^n$ telles que $$\lim_{k\to \infty}||x_k-y_k|| = a\quad\text{ et }\quad\lim_{k\to\infty}||x_k+y_k|| = b.
$$ Pour quels $a,b$ pouvons-nous déduire que les limites $\lim\limits_{k\to\infty}||x_k||$ et $\lim\limits_{k\to\infty}||y_k||$ existent ?
Je ne vois même pas par où commencer... Si vous pouvez m'éclairer ce serait sympa.
Merci d'avance pour votre aide.
Je vous poste un exercice qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soient $a,b \geq 0$, $(x_k)_k$, $(y_k)_k$ deux suites dans $\mathbb R^n$ telles que $$\lim_{k\to \infty}||x_k-y_k|| = a\quad\text{ et }\quad\lim_{k\to\infty}||x_k+y_k|| = b.
$$ Pour quels $a,b$ pouvons-nous déduire que les limites $\lim\limits_{k\to\infty}||x_k||$ et $\lim\limits_{k\to\infty}||y_k||$ existent ?
Je ne vois même pas par où commencer... Si vous pouvez m'éclairer ce serait sympa.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Ma participation :-D
pour a=b=0 ça marcheLe 😄 Farceur -
Merci pour l'aide. Ce qui me pose problème c'est de montrer justement que de telles limites existent, en particulier pour a = b = 0. Je ne vois pas quelles propriétés utiliser (dois-je utiliser que N(x-y) = d(x,y), l'inégalité triangulaire...)
Cordialement, -
Si a=b=0 tu as $||x_n-y_n||^2+||x_n+y_n||^2=2(||x_n||^2+||y_n||^2)$ donc $(||x_n||^2+||y_n||^2$ tend vers 0, or
$0\leq ||x_n||^2 \leq ||x_n||^2+||y_n||^2$ donc $||x_n||$ tend vers 0 et de même pour $||y_n||$Le 😄 Farceur -
ATTENTION: Je confond ici et dans le post d'aprés vecteurs et les réels a et b. Il faut se dire que a est un vecteur de norme a et b un vecteur de norme b.....
De toute façon je crois bien qu'on n'a pas vraiment besoin de cette construction.
Bonjour,
et ma participation:
2 choses:
1. Premièrement la somme et la différence de deux suites bornées est encore borné. Comme (xn - yn) et (xn+ yn) sont bornées alors en faisant las somme et la différence, on en conclut que (xn) et (yn) sont bornées. On peut alors éspérer utiliser Bolzano-Wierestrass.
2. Deuxièmement on peut écarter tous les a et b tq a soit différent de b
En effet considérer les deux suites suivantes.
X2n=a/2+b/2.
Y2n=b/2 - a/2.
Y2n+1 = X2n et X2n+1 =Y2n.
Alors la norme de la différence est constante égale à a et la norme de la somme est constante égale à b.
Mais les termes permutent et il est simple de voir que les normes de Xn ey de Yn n'admettent pas de limites. ( car a et b sont différents)
J'aurais fait le calcul mais je ne sais pas écrire en Latex.
En écrivant je me rends compte que ce deuxième point est certainement vrai pour des suites réelles mais j'ai des sérieux doutes sur sa véracité en dimension supérieure. -
Re
Je suis quasiment sur que ce deuxième contre-exemple tombe a l'eau si a et b sont orthogonaux (ce qui ne se passe pas souvent sur R (:P) )
Avec un peu de réflexion on peut peut-etre le sauver.... -
Si a est différent de b, peut on toujours trouver deux vecteurs x et y tels que:
1. ||x-y||=a
2.||x+y||=b
3.||x|| différent de ||y||.
Si cela est possible le cas a différent de b est résolu -
Je ne comprends pas ton argument pour $a \ne b$ dans R. Prends par ex la suite $y_{k} = x_{k}$ avec $x_{k}$ convergente vers $l$. Alors leur différence tend vers 0 et leur somme tend vers $2l$.
-
@rougemaire
De quel post tu parles? -
Up
Et le cas a=b strictement positifs est à écarter.
En effet soit e un vecteur unitaire
Considérons Xn et Yn définies par
X2n =a.e et X2n+1=0
Y2n=0 et Y2n+1=a.e
Alors ||Xn-Yn|| =a et ||Xn + Yn||=a pour tout n
Mais de nouveau les normes de Xn et Yn n'ont pas de limites.
C'est exactement la même idée que pour le cas a différent de b.
Il ne reste plus qu'à trouver les vecteurs x et y comme dans le post du haut -
Mais la question est si je comprends bien pour quelles valeurs a et b a-t-on convergence des normes pour n'importe quelles suites.
Ai-je mal compris ? -
Qu'il existe Xn et Yn deux suites vérifiant les hypothèses demandées mais telle que les normes des deux suites ne convergent pas.
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J'ai aussi répété plusieurs dois que ça ne valait que dans R. Mais on peut facilement le généraliser à n'importe quelle dimension en considérant des suites sur un sous-ev de dimension 1.
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Ok, et on laisse Joulz réagir s'il n'est pas convaincu (de ma part, j'ai la flemme de regarder pour le moment )Le 😄 Farceur
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Je veux bien que tu m'expliques où tu vois un problème
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Je ne vois aucun problème car je n'ai pas regardé pour le moment ( manque du temps)Le 😄 Farceur
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Bonsoir,
Si a est différent de b, ces limites n’existent pas c’est ça ?
Cordialement, -
Pour résumer, le seul cas où on peut conclure c'est le cas de gebrane a=b=0
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Merci c’est bien ce qu’il me semblait :-)
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@Phare
Je viens de regarder ton raisonnement dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1568624,1568762#msg-1568762
Si $a=0$ et $b=2$ Trouve moi ces deux vecteurs $X$ et $Y$ de normes distinctes.Le 😄 Farceur -
Effectivement le cas où a=0 est tricky.
On aura forcemment x=y.
Maintenant une dernière fois si a et b sont strictement positifs et que a est différent de b
Prenons e un vecteur unitaire.
Posons X2n= (a\2 + b\2).e Y2n=(b\2 -a\2).e
X2n+1 =Y2n et Y2n+1=X2n.
Alors la norme de Xn -Yn est constante égale à a
La norme de la somme est constante égale à b et cela pour tout n bien sur
Mais la norme de Xn par exemple vaut tantôt a\2 +b\2
Et tantôt |a\2-b\2 | qui sont bien différents à cause des hupothèses faites sur a et b. -
@Joulz
Je me suis trompé...
Voilà les cas où l'on ne peut pas conclure:
1. a=b strictement positifs.
2. a différent de b tous deux strictement positifs.
Il reste alors le cas ou l'un des deux est nul.
D'ailleurs est-ce un exercice où une question que tu t'es posé, parce que je ne vois aucune raison de croire que les normes vont converger.... -
Finalement un autre cas où l'on peut conclure:
a=0 et b>0.
Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers b\2 ainsi que la norme de Yn.
On va alors utiliser B-W.
Premièrement: comme je l'ai déjà dis les deux suites sont bornées.
Deuxièmement: la relation norme de Xn -Yn tend vers 0 nous donne que l'ensemble des valeurs d'adhérence de Xn est égal à l'ensemble des valeurs d'adhérence de Yn.
3. La relation ||Xn+Yn|| tend vers b nous donne que toutes les valeurs d'adhérence de Xn se situent sur la sphère de rayon b\2.
4. On suppose alors par l'absurde que ||Xn|| ne converge pas vers b\2.
Cela nous donne l'existence d'un epsilon e >0 et d'une sous suite Xnk tq soit ||Xnk||<= (b\2)-e ou ||Xnk||>=(b\2)+e.
5. On a donc soit une infinité de termes de Xnk à l'intérieur de la boule où à l'exterieur. Supposons sans perte de généralité qu'il y'en aune infinité à l'exterieur.
6. N'oublions pas que Xn est bornée alors il en est de même pour les Xnk à l'exterieur de la boule. Alors une autre utilisation de B.W noua donne l'existence d'une sous suite Xnkj convergente mais qui vérifie ||Xnkj||>=(b\2)+e.
En passant a la limite on se retrouve avec une valeur d'adhérence qui n'appartient pas à la sphère.
ABSURDE
Donc la nirme de Xn et de Yn convergent vers b\2. -
??
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Tu ne vois pas ta faute?Le 😄 Farceur
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Non!
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Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers $\frac b2$, non?Le 😄 Farceur
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Non non ça converge vers b.
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Prendre $X_n=Y_n=\frac b2$ alors $||X_n-Y_n||\to 0$ et $||X_n+Y_n||\to b$Le 😄 Farceur
-
Oui oui en effet faute de calcul, sinon le raisonnement reste correcte, merci.
Je vais changer le post. -
@Gebrane
Je trouvais la peuve assez visuelle mais bon...
En effet ta proposition est correcte:
Si Zn tend vers 0 et ||Wn||->l alors la norme de la somme tend vers l aussi:
| ||Zn+Wn|| -l | <= | ||Zn+Wn|| -||Wn|| | + | ||Wn|| - l | <= ||Zn|| + | ||Wn|| - l | ce qui tend bien vers 0.
En effet on peut en suite poser Zn =Xn- Yn et Wn= Xn+Yn pour retrouver le résultat.
Cela permet de ne pas utiliser B.-W.
Bien vu Gebrane. -
Bonsoir Gebrane
Ton choix de $\left( {{u}_{n}} \right)$ est en général ou bien c’est le cas de l’exercice c’est-à-dire ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ ?
Si c’est le cas de l’exercice, pourquoi supposes-tu ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ tends vers ${{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}}$ ? c’est la limite qu’on est en train de chercher dans le cas $a=0$ et. $b>0$ non ? -
C'est bien expliqué dans le message de phare http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1568624,1570408#msg-1570408Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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