Exercice sur les limites
Bonjour
Je vous poste un exercice qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soient $a,b \geq 0$, $(x_k)_k$, $(y_k)_k$ deux suites dans $\mathbb R^n$ telles que $$\lim_{k\to \infty}||x_k-y_k|| = a\quad\text{ et }\quad\lim_{k\to\infty}||x_k+y_k|| = b.
$$ Pour quels $a,b$ pouvons-nous déduire que les limites $\lim\limits_{k\to\infty}||x_k||$ et $\lim\limits_{k\to\infty}||y_k||$ existent ?
Je ne vois même pas par où commencer... Si vous pouvez m'éclairer ce serait sympa.
Merci d'avance pour votre aide.
Je vous poste un exercice qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soient $a,b \geq 0$, $(x_k)_k$, $(y_k)_k$ deux suites dans $\mathbb R^n$ telles que $$\lim_{k\to \infty}||x_k-y_k|| = a\quad\text{ et }\quad\lim_{k\to\infty}||x_k+y_k|| = b.
$$ Pour quels $a,b$ pouvons-nous déduire que les limites $\lim\limits_{k\to\infty}||x_k||$ et $\lim\limits_{k\to\infty}||y_k||$ existent ?
Je ne vois même pas par où commencer... Si vous pouvez m'éclairer ce serait sympa.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
pour a=b=0 ça marche
Cordialement,
$0\leq ||x_n||^2 \leq ||x_n||^2+||y_n||^2$ donc $||x_n||$ tend vers 0 et de même pour $||y_n||$
De toute façon je crois bien qu'on n'a pas vraiment besoin de cette construction.
Bonjour,
et ma participation:
2 choses:
1. Premièrement la somme et la différence de deux suites bornées est encore borné. Comme (xn - yn) et (xn+ yn) sont bornées alors en faisant las somme et la différence, on en conclut que (xn) et (yn) sont bornées. On peut alors éspérer utiliser Bolzano-Wierestrass.
2. Deuxièmement on peut écarter tous les a et b tq a soit différent de b
En effet considérer les deux suites suivantes.
X2n=a/2+b/2.
Y2n=b/2 - a/2.
Y2n+1 = X2n et X2n+1 =Y2n.
Alors la norme de la différence est constante égale à a et la norme de la somme est constante égale à b.
Mais les termes permutent et il est simple de voir que les normes de Xn ey de Yn n'admettent pas de limites. ( car a et b sont différents)
J'aurais fait le calcul mais je ne sais pas écrire en Latex.
En écrivant je me rends compte que ce deuxième point est certainement vrai pour des suites réelles mais j'ai des sérieux doutes sur sa véracité en dimension supérieure.
Je suis quasiment sur que ce deuxième contre-exemple tombe a l'eau si a et b sont orthogonaux (ce qui ne se passe pas souvent sur R (:P) )
Avec un peu de réflexion on peut peut-etre le sauver....
1. ||x-y||=a
2.||x+y||=b
3.||x|| différent de ||y||.
Si cela est possible le cas a différent de b est résolu
De quel post tu parles?
Et le cas a=b strictement positifs est à écarter.
En effet soit e un vecteur unitaire
Considérons Xn et Yn définies par
X2n =a.e et X2n+1=0
Y2n=0 et Y2n+1=a.e
Alors ||Xn-Yn|| =a et ||Xn + Yn||=a pour tout n
Mais de nouveau les normes de Xn et Yn n'ont pas de limites.
C'est exactement la même idée que pour le cas a différent de b.
Il ne reste plus qu'à trouver les vecteurs x et y comme dans le post du haut
Dans le cas $a\neq b$ tu démontres quoi au juste, car rougemaire t'as exibé un exemple où les suites ||x_n|| et ||y_n|| converges
Je suis impatient de voir une participation de Dom, il aime ce genre de complications
Ai-je mal compris ?
Je me répète, tu as démontré quoi au juste dans le cas $a\neq b$ ( tu as dis c'est réglé)
Si a est différent de b, ces limites n’existent pas c’est ça ?
Cordialement,
Je viens de regarder ton raisonnement dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1568624,1568762#msg-1568762
Si $a=0$ et $b=2$ Trouve moi ces deux vecteurs $X$ et $Y$ de normes distinctes.
On aura forcemment x=y.
Maintenant une dernière fois si a et b sont strictement positifs et que a est différent de b
Prenons e un vecteur unitaire.
Posons X2n= (a\2 + b\2).e Y2n=(b\2 -a\2).e
X2n+1 =Y2n et Y2n+1=X2n.
Alors la norme de Xn -Yn est constante égale à a
La norme de la somme est constante égale à b et cela pour tout n bien sur
Mais la norme de Xn par exemple vaut tantôt a\2 +b\2
Et tantôt |a\2-b\2 | qui sont bien différents à cause des hupothèses faites sur a et b.
Je me suis trompé...
Voilà les cas où l'on ne peut pas conclure:
1. a=b strictement positifs.
2. a différent de b tous deux strictement positifs.
Il reste alors le cas ou l'un des deux est nul.
D'ailleurs est-ce un exercice où une question que tu t'es posé, parce que je ne vois aucune raison de croire que les normes vont converger....
a=0 et b>0.
Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers b\2 ainsi que la norme de Yn.
On va alors utiliser B-W.
Premièrement: comme je l'ai déjà dis les deux suites sont bornées.
Deuxièmement: la relation norme de Xn -Yn tend vers 0 nous donne que l'ensemble des valeurs d'adhérence de Xn est égal à l'ensemble des valeurs d'adhérence de Yn.
3. La relation ||Xn+Yn|| tend vers b nous donne que toutes les valeurs d'adhérence de Xn se situent sur la sphère de rayon b\2.
4. On suppose alors par l'absurde que ||Xn|| ne converge pas vers b\2.
Cela nous donne l'existence d'un epsilon e >0 et d'une sous suite Xnk tq soit ||Xnk||<= (b\2)-e ou ||Xnk||>=(b\2)+e.
5. On a donc soit une infinité de termes de Xnk à l'intérieur de la boule où à l'exterieur. Supposons sans perte de généralité qu'il y'en aune infinité à l'exterieur.
6. N'oublions pas que Xn est bornée alors il en est de même pour les Xnk à l'exterieur de la boule. Alors une autre utilisation de B.W noua donne l'existence d'une sous suite Xnkj convergente mais qui vérifie ||Xnkj||>=(b\2)+e.
En passant a la limite on se retrouve avec une valeur d'adhérence qui n'appartient pas à la sphère.
ABSURDE
Donc la nirme de Xn et de Yn convergent vers b\2.
Une faute de frappe "Dans ce cas on montre que ||Xn|| converge vers b"
Je vais changer le post.
Ton raisonnement du cas $a=0$ et $b>0$ est très compliqué,on peut simplifier si tu es d'accord avec
Je trouvais la peuve assez visuelle mais bon...
En effet ta proposition est correcte:
Si Zn tend vers 0 et ||Wn||->l alors la norme de la somme tend vers l aussi:
| ||Zn+Wn|| -l | <= | ||Zn+Wn|| -||Wn|| | + | ||Wn|| - l | <= ||Zn|| + | ||Wn|| - l | ce qui tend bien vers 0.
En effet on peut en suite poser Zn =Xn- Yn et Wn= Xn+Yn pour retrouver le résultat.
Cela permet de ne pas utiliser B.-W.
Bien vu Gebrane.
Ton choix de $\left( {{u}_{n}} \right)$ est en général ou bien c’est le cas de l’exercice c’est-à-dire ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ ?
Si c’est le cas de l’exercice, pourquoi supposes-tu ${{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}$ tends vers ${{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}}$ ? c’est la limite qu’on est en train de chercher dans le cas $a=0$ et. $b>0$ non ?