logique mathématique

On peut formuler différemment : il s'agit de se convaincre que si $P$ est une formule qui ne dépend pas de la variable $x$, on a l'équivalence (pour autant que $E$ ne soit pas vide...) :
\[\bigl(\forall x\in E,\ P\bigr)\iff P.\]
On peut démontrer cette évidence par double implication...
Supposons que $\forall x\in E,\ P$. Fixons $x\in E$ (possible car $E$ a été supposé non vide). Alors $P$ est vrai, ce qu'il fallait démontrer.
Réciproquement, supposons $P$ vraie. Choisissons $x\in E$, alors $P$ est vraie. D'où : $\forall x\in E,\ P$.
(Bel effort, non ?)

Edit : Bel effort mais à côté de la plaque... Je n'avais pas vu la barre qui transformait l'implication initiale en « n'implique pas » !

En logique classique, une implication est équivalente à sa contraposée. En notant $P'$ la négation de $P$ et $Q'(x)$ celle de $Q(x)$, il suffit donc de montrer :
\[\bigl[P'\wedge(\exists x\in E,\ Q'(x))\bigr]\implies\bigl[\exists x\in E,\ P'\wedge Q'(x)\bigr].\]Supposons $P'$ et supposons qu'il existe $x$ dans $E$ tel que $Q'(x)$ (en particulier, $E$ n'est pas vide). Alors, pour ce $x$, on a bien : $P'$ et $Q'(x)$.