Intégrale à paramètres
Bonjour
Je bloque sur deux questions de mon DM dont voici l'énoncé.
Énoncé : On note $J=]-1,1[$. On définit la fonction $L$ de $\mathbb{R}$ dans $[0, +\infty]$ en posant, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$
L(x)=\frac{2}{\pi}\int_\mathbb{R} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t.
$$ 1. Montrer que pour tout $x \in J$, $L(x)$ est finie. Montrer que si $x \notin J$, $L(x)=+\infty$
Pour la première question, en partant de $x \in ]-1, 1[ $ j'ai trouvé un encadrement strict de $L(x)$ et j'en ai déduit que $L(x)$ était finie, sauf que j'aurais pu faire le même genre d'encadrement entre $]-2, 2[$ et montrer aussi que $L(x)$ était finie sauf que je suis censé trouver qu'entre $[1, 2[$ $L(x)=+\infty$, quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main ? :-)
2. Soit $A \in ]0, 1[$.
(a) Montrer que pour tout $x \in ]-A,A[$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$, $e^{xt} \leq e^{A |t|}$.
(b) Montrer que $L$ est de classe $C^{2}$ sur $]-A, A[$ et exprimer $L'$ et $L''$ sous forme intégrale.
Pour la question 2 (a) ça va mais pour la 2(b), je n'arrive pas à trouver de majoration de la dérivée de $\dfrac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}$ pour montrer qu'elle est de classe $C^{1}$. Quelqu'un a-t-il une astuce ?
Sinon en cours je viens de voir le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale pour les intégrales à paramètres donc c'est ce que j'essaye d'utiliser dans la question 2(b).
Merci d'avance pour votre aide !
Bonne journée,
Harastieu
Je bloque sur deux questions de mon DM dont voici l'énoncé.
Énoncé : On note $J=]-1,1[$. On définit la fonction $L$ de $\mathbb{R}$ dans $[0, +\infty]$ en posant, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$
L(x)=\frac{2}{\pi}\int_\mathbb{R} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t.
$$ 1. Montrer que pour tout $x \in J$, $L(x)$ est finie. Montrer que si $x \notin J$, $L(x)=+\infty$
Pour la première question, en partant de $x \in ]-1, 1[ $ j'ai trouvé un encadrement strict de $L(x)$ et j'en ai déduit que $L(x)$ était finie, sauf que j'aurais pu faire le même genre d'encadrement entre $]-2, 2[$ et montrer aussi que $L(x)$ était finie sauf que je suis censé trouver qu'entre $[1, 2[$ $L(x)=+\infty$, quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main ? :-)
2. Soit $A \in ]0, 1[$.
(a) Montrer que pour tout $x \in ]-A,A[$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$, $e^{xt} \leq e^{A |t|}$.
(b) Montrer que $L$ est de classe $C^{2}$ sur $]-A, A[$ et exprimer $L'$ et $L''$ sous forme intégrale.
Pour la question 2 (a) ça va mais pour la 2(b), je n'arrive pas à trouver de majoration de la dérivée de $\dfrac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}$ pour montrer qu'elle est de classe $C^{1}$. Quelqu'un a-t-il une astuce ?
Sinon en cours je viens de voir le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale pour les intégrales à paramètres donc c'est ce que j'essaye d'utiliser dans la question 2(b).
Merci d'avance pour votre aide !
Bonne journée,
Harastieu
Réponses
-
Bonjour,
Calcule un équivalent de l’integrande aux bornes... -
Pour ta question 1), si tu ne donnes pas l'encadrement que tu as trouvé, difficile de t'aider
-
@YvesM Je vais essayer, mais je ne suis pas certain de réussir..
@Tryss Voici l'encadrement que je trouve :
$ 0 \leq L(x) \leq \frac{2}{\pi} \displaystyle \int_\mathbb{{R}_{+}^{*}} \frac{e^{t}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t + \frac{2}{\pi} \displaystyle \int_\mathbb{{R}_{-}^{*}} \frac{e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t $ -
Ton encadrement est correct, mais ton majorant vaut tout simplement $+\infty$ ! Ici il faudrait juste que tu parviennes à montrer que la fonction $x \mapsto \frac{\rm{e}^{-xt}}{\rm{e}^t + \rm{e}^{-t}}$ est intégrable sur $\mathbb R$ quand $|x| < 1$. Pour ça, il te suffit d'étudier cette fonction en les infinis car...?
-
Sauf erreur, on peut "calculer" cette intégrale.
Sauf erreur toujours on a:
$\displaystyle L(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{t^x}{1+t^2}\,dt$
PS:
Pour montrer qu'une expression positive tend vers l'infini c'est généralement plutôt d'une minoration d' par un truc qui tend vers l'infini dont on a besoin. -
La meilleure méthode ( plus économique) est celle de YvesM
en$ +\infty, \quad f(x)\sim e^{(x-1)t}$ donc intégrable en $+\infty$ si ....
en $-\infty, \quad f(x)\sim$ ....... donc intégrable en $-\infty$ si ....Le 😄 Farceur -
Sans aucun doute.
Quand je vois une intégrale qu'on peut "calculer" assez "facilement" je ne peux m'empêcher de tenter de le faire. Mais à la fin, je doute que tout le monde sache pour quelles valeurs de $x$ réelles, $\Gamma(x)$ est définie. :-D -
Bonjour,
Attention à ne pas faire une erreur de raisonnement : on ne peut pas faire un changement de variables pour montrer qu’une intégrale existe. Il faut d’abord montrer l’existence. Sinon on montre juste une implication : si l’integrale existe, alors ... et on ne peut rien dire sur l’existence. Non ? -
YvesM:
Je ne suis pas d'accord avec toi. D'autant plus que l'intégrande est strictement positive. -
YvesM : Ce que tu dis n'est pas clair. Il est parfaitement exact de dire "Une intégrale existe si et seulement si elle existe après un changement de variables."
-
L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles convergent ces deux intégrales est le MEME.
(On a , je ne vous apprends rien, aussi un changement de variable pour passer de la seconde intégrale à la première.) -
YvesM:
Je n'ai rien rédigé dans la réponse que tu contestes et qui était seulement une indication.
Dans mon esprit, c'est comme dit Cyrano, on a équivalence entre le fait que l'intégrale converge avant et après le changement de variable. -
Bonjour,
Nous avons eu un problème similaire pour un de nos exercices a rendre pour un de nos DM et donc après quelque réflexions voici ce a quoi nous avons aboutis :
$\displaystyle L(x) = \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{R} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt$
$\displaystyle L(x) = \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt + \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{{R}^{-}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt$
Pour $\mathbb{{R}^{+}}$, on a :
$\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt = \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt$
Or, comme $\displaystyle x \in ]-1,1[$, on a $\displaystyle -(1-x)<0$, d'où :
$\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt \leq \int_ \mathbb{{R}^{+}} e^{-(1-x)t}\,dt$
Comme $\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} e^{-(1-x)t}\,dt$ est fini, on a bien $\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt$ qui l'est également car inférieur ou égale à une intégrale finie.
Pour $\mathbb{{R}^{-}}$, un simple changement de variable nous permet d'arriver au même résultat. Il suffit de poser $\displaystyle u=-t $ et on obtient $\displaystyle\int_ \mathbb{{R}^{-}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt = \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xu}}{e^{-u}+e^{u}}\,dt$ puis il suffit d'appliquer le même raisonnement ^^
Voilà pour le 1) merci de me tenir au courant si quelques erreur se seraient glissés dans ces calcules.
J'espère que le raisonnement vous a été utile. Ce fut un plaisir de vous aider Harastieu.
Cordialement -
AxelGodotL3MATHSUBSVANNES:
Comparer des intégrales dont on ne sait pas à priori si les deux sont convergentes BOF !
C'est sur l'intégrande qu'il faut raisonner. (intégrande qui a un signe constant)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 4
+3 Invités