Ensemble des valeurs d'adhérence
Bonjour à tous
Une question que je trouve intéressante.
C'est un exercice classique que de montrer que si une suite réelle Xn vérifie Xn+1-Xn -> 0 alors l'ensemble des valeurs d'adhérences de cette suite est un intervalle.
Maintenant qu'en est-il pour une suite dans un espace vectoriel de dimension finie qui vérifie la même relation ?
Est-ce que l'ensemble des valeurs d'adhérences est un connexe, un convexe ?
Qu'en pensez-vous ?
Je suis preneur de toute idée, (contre-)exemple.
Une question que je trouve intéressante.
C'est un exercice classique que de montrer que si une suite réelle Xn vérifie Xn+1-Xn -> 0 alors l'ensemble des valeurs d'adhérences de cette suite est un intervalle.
Maintenant qu'en est-il pour une suite dans un espace vectoriel de dimension finie qui vérifie la même relation ?
Est-ce que l'ensemble des valeurs d'adhérences est un connexe, un convexe ?
Qu'en pensez-vous ?
Je suis preneur de toute idée, (contre-)exemple.
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Réponses
Je regarde dans ce sens...
Pas un convexe?
Dans un evn
Oui, c'est pour ça que je précise evn dans ma question,
Je demande car cette information permet de privilégier un angle d'attaque pour la démonstration, précisément les projections ...
En effet il suffit de se donner une suite réelle qui vérifie la relation puis de l'envoyer par une une application unif. continue sur le cercle et on obtient un contre exemple.
Merci encore.
Merci je vais voir ça.
En fait non.
Je confirme, vraiment pas facile :-D (Comment Gourdon peut-il être passé à côté de la médaille Field après ça? )
Bonne soirée,
Talal
En fait d'ailleurs ! Je viens de me rendre compte que dans l'énoncé général (pour un espace métrique quelconque, ledit ensemble est connexe); il faut supposer que $(u_n)$ est bornée, donc en fait ta remarque Shah D'Ock me fait penser que peut-être que pour l'exo général il faut bien supposé que le fermé est borné.
Si ce n'est pas clair, je précise ce que je viens de dire :
1) Dans $\mathbb{R}$, la seule hypothèse sur $(u_n)$ est que $u_{n+1}-u_n \to 0$
2) Dans un espace métrique quelconque, pour réussir à prouver la connexité, il faut supposer que $(u_n)$ est de plus bornée, sinon on a des contrexemples !
3) Dans un espace métrique quelconque, c'est plus simple si on suppose que les boules fermées sont compactes il me semble (ce qui sera le cas dans un evn de dimension finie)
4) Il me semble (mais au vu de ce dont je viens de me rendre compte c'est moins sûr) qu'on a une "réciproque": si $F$ est un fermé connexe d'un evn de dimension finie, alors $F$ est l'ensemble des valeurs d'adhérences d'une suite $(u_n)$ telle que $d(u_{n+1},u_n) \to 0$
de $(0,0)$ à $(0,2N)$
puis de $(0,2N)$ à $(1,2N)$
puis de $(1,2N)$ à $(1,0)$.
En suite on fait demi-tour: on fait des sauts de longueur $2^{-(2N+1)}$ (édité)pour aller successivement:
de $(1,0)$ à $(1,2N+1)$
puis de $(1,2N+1)$ à $(0,2N+1)$
puis de $(0,2N+1)$ à $(0,0)$.
Et ainsi de suite...
Avec un peu d'imagination (l'idée n'est pas tellement différente) on peut aussi construire un exemple dans $\R^2$ où l'ensemble des valeurs d'adhérence possède exactement deux éléments.
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En revanche si une suite $(y_n)_{n\in \N}$ d'un espace métrique compact $(K,d)$ est telle que $d(y_{n+1},y_n)\underset{n\to +\infty} {\longrightarrow} 0$ alors l'ensemble $A$ de ses valeurs d'adhérence est connexe.
En effet si $A$ n'est pas connexe il est la réunion de deux parties non vides disjointes $B,C$ fermées pour la topologie induite sur $A$, qui sont également des parties fermées de $K$. Donc $B$ et $C$ sont compacts. La fonction $(x,y)\in B\times C \mapsto d(x,y)$ admet donc (compacité de $B\times C$) un minimum $m>0$ non nul et si pour tout $X\subseteq K$ on note $V(X)=\bigcup_{a\in X} B\left( a,\frac{m}{3}\right)$, on voit que $V(B)$ et $V(C)$ sont des ouverts disjoints de $K$ à distance au moins $\frac{m}{3}$ (*) l'un de l'autre. $K\backslash \left[ V(B) \cup V(C)\right]$ est fermé dans $K$ donc compact et contient par construction -cf (*)- une infinité de points de la suite donc une valeur d'adhérence: contradiction.
Considérer un Hilbert de dimension dénombrable avec une base $(e_n)_{n\in \N}$ et tracer un demi cercle de rayon $1/2$: $C_n$dans $vect (e_0,e_n)$, reliant $0$ à $e_0$.
-On va de $0$ à $e_0$ dans $C_{2n}$ en faisant des pas de taille $2^{-2n}$
-On va de $e_0$ à $0$ dans $C_{2n+1}$ en faisant des pas de taille $2^{-(2n+1)}$.
On obtient une suite bornée dont les seules valeurs d'adhérence sont $e_0$ et $0$ et dont la distance entre les termes successifs tend vers $0$.
Bref la compacité est indispensable.