Handicap intégrale de Lebesgue sans Riemann
Bonjour,
Le titre du fil est "Handicap de l’intégrale de Lebesgue sans Riemann"
J’étais parmi ceux qui croyaient qu'on passe trop de temps sur l’intégrale de Riemann et ces généralisées, puisqu'on l'oublie carrément après. j’étais même pour l’abolition de l’intégrale de Riemann et ces généralisées
Question : Si on oublie l’intégrale de Riemann et ces généralisées , peut on démontrer que la suite $T_n=\frac {\sin(nx)}x\in L^1_{loc}$ converge dans $D'(\R)$
Au sens de Lebesgue la suite d’intégrales $\int_{-na}^{na} \frac {\sin(x)}x dx \, ,(a>0)$ à un sens mais la limite n'existe pas ( au sens de Lebesgue) puisque $x\to \frac {\sin(x)}x$ n'est pas absolument convergente dans $\R$
Comment s'en sortir sans la théorie des intégrales généralisées de Riemann qui permettent justement de donner un sens à $\int_{\R}\frac {\sin(x)}x dx$
Le titre du fil est "Handicap de l’intégrale de Lebesgue sans Riemann"
J’étais parmi ceux qui croyaient qu'on passe trop de temps sur l’intégrale de Riemann et ces généralisées, puisqu'on l'oublie carrément après. j’étais même pour l’abolition de l’intégrale de Riemann et ces généralisées
Question : Si on oublie l’intégrale de Riemann et ces généralisées , peut on démontrer que la suite $T_n=\frac {\sin(nx)}x\in L^1_{loc}$ converge dans $D'(\R)$
Au sens de Lebesgue la suite d’intégrales $\int_{-na}^{na} \frac {\sin(x)}x dx \, ,(a>0)$ à un sens mais la limite n'existe pas ( au sens de Lebesgue) puisque $x\to \frac {\sin(x)}x$ n'est pas absolument convergente dans $\R$
Comment s'en sortir sans la théorie des intégrales généralisées de Riemann qui permettent justement de donner un sens à $\int_{\R}\frac {\sin(x)}x dx$
Le 😄 Farceur
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Réponses
\[ \lim_{X \to +\infty} \int_1^X \frac{\sin t}{t}\,dt\]
peu importe si on intègre au sens de Riemann, de Cauchy, de Lebesgue etc.
EDIT: pour être plus clair la convergence d'intégrale ne dépend pas de la théorie de l'intégration choisie, car on intègre une brave fonction continue sur le compact $[1,X]$... Donc il n'y a pas d'histoire du genre cette limite converge avec Riemann et pas avec Lebesgue ou que sais-je.
Intégrale généralisée de Riemann veut dire la théorie des intégrales généralisées (des limites des intégrales de Riemann).
$x\mapsto\frac {\sin(x)}x\notin L^1(\R )$
Tu dis que $\int_{\R}\frac {\sin(x)}x dx$ a un sens avec la théorie de Lebesgue ?
Le problème comme tu viens de le constater, c'est qu'il n'y a pas de notation propre aux intégrales généralisées avec Lebesgue, ce qui ne posait pas de problème avec Riemann. Mais il n'y a aucun blocage théorique. Donc on peut toujours parler d'intégrale généralisée sans Riemann, il faut juste bien faire la distinction.
donc tu dis que $\lim\limits_{n\to +\infty} \int_{-nx}^{nx}\frac {sin(nx)}x
dx$ admet une limite malgré que $\int_{\R}\frac {\sin(x)}x dx$ n'existe pas au sens de Lebesgue
Évidemment que ta limite existe, c'est la même suite de réels ! Elle va pas se mettre à ne plus converger parce que t'as décidé que c'était dommage que la fonction ne soit pas intégrable sur $\R$. Que vient faire l'intégrabilité là-dedans ??
et bien j'ai appris quelques chose dans cette matinée de dimanche
-L'incapacité d'avoir un théorème de Fubini (à la Lebesgue) pour les intégrales de Riemann en dimension supérieure (il ne suffit pas que les fibres soient Riemann intégrables pour que la fonction le soit) est liée à la construction d'ensembles étonnants (ensembles de Besicovitch).
-Caractériser la convergence pp des sommes de Riemann de fonctions $L^{1}$ est un problème intéressant (et toujours ouvert).
Si $\int_0^{+\infty} |f(x)| dx$ n'a pas de sens mais que $\lim_{M\to +\infty} \int_0^M f(x) dx$ existe et est fini, alors on dit que $f$ admet une intégrale de Lebesgue fléchée et on note ça $$\int_0^{\to +\infty} f(x) dx.$$ (Ca dépend des régions du monde, le vocabulaire change) La seule chose à retenir c'est qu'avec les intégrales fléchées, les théorèmes de convergence dominée et compagnie ne sont pas utilisables. Par contre le théorème d'intégration par partie ne requiert que l'intégrale fléchée et pas la vraie intégrabilité.
1) La vraie Lebesgue intégrabilité où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty, N \to +\infty} \int_{-N}^{M} |f(x)|dx$$ existe et soit fini.
2) L'intégrale fléchée où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty, N \to +\infty} \int_{-N}^{M} f(x)dx$$ existe et soit fini.
3) La valeur principale où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty} \int_{-M}^{M} f(x)dx$$ existe et soit fini.
Les notations que j'utilise sont respectivement $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx, \quad \int_{\to -\infty}^{\to +\infty} f(x) dx, \quad v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx.$$
Evidemment si on admet une intégrale fléchée, on admet une valeur principale mais la réciproque n'est pas forcément vraie.
j'ignorais l'existence de ces intégrales fléchées.
Une petite remarque sur une chose passée inaperçue.
Dès ton message original, tu considère la suite pour $a>0$ fixé : $n \mapsto \int_{-na}^{na} f(x) dx $
Puis dans le cas de convergence, tu sembles noter la limite : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$.(**)
Je souhaite juste faire remarquer que l'on peut obtenir des limites bien différentes qui dépendent, en fait, des deux suites intervenant dans les bornes d'intégration. On peut noter : $n \mapsto \int_{u_n}^{v_n} f(x) dx$ pour la discussion, où la suite $u$ tend vers $-\infty$ et la suite $v$ vers $+\infty$.
En cas de convergence de l'intégrale (au sens généralisée, par exemple), on aura la même limite quelles que soient les suites $u$ et $v$ (tendant vers l’infinie) dans les bornes d'intégration.
Mais en cas de non convergence de l'intégrale, on peut parfois trouver des suites particulières (dans les bornes) qui permettent de faire converger la suite.
Par exemple : $n \mapsto \int_{-n}^{n} x dx$ converge vers $0$ sans que l'intégrale sur $\mathbb R$ de l'identité converge.
NB: (**)
J'ai volontairement changé l'argument en $f(x)$ et également volontairement changé les bornes de l'intégrale (tu avais mis sur $\mathbb R$ et j'ai mis deux bornes infinies).
\[ \lim_{X \to +\infty}\int_0^X \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}.\]