Handicap intégrale de Lebesgue sans Riemann

Juste une petite précision, les intégrales généralisées ça fait parfaitement sens avec Lebesgue, la théorie reste la même. C'est la notation qui est ambigue, car avec Lebesgue la notation d'intégrale généralisée se confond avec celle d'intégrale, c'est ça qui pose problème.

On devrait adopter Kurzweil-Henstock pour réconcilier tout le monde.

La Lebesgue-intégrabilité est un cas particulier de la KH-intégrabilité. Donc si besoin est, on se cantonne à celle-là.

Je ne comprends pas le problème. C'est juste une question de vocabulaire.

Si $\int_0^{+\infty} |f(x)| dx$ n'a pas de sens mais que $\lim_{M\to +\infty} \int_0^M f(x) dx$ existe et est fini, alors on dit que $f$ admet une intégrale de Lebesgue fléchée et on note ça $$\int_0^{\to +\infty} f(x) dx.$$ (Ca dépend des régions du monde, le vocabulaire change) La seule chose à retenir c'est qu'avec les intégrales fléchées, les théorèmes de convergence dominée et compagnie ne sont pas utilisables. Par contre le théorème d'intégration par partie ne requiert que l'intégrale fléchée et pas la vraie intégrabilité.

Et en fait, on a trois notions différentes si on fait varier les deux bornes.

1) La vraie Lebesgue intégrabilité où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty, N \to +\infty} \int_{-N}^{M} |f(x)|dx$$ existe et soit fini.

2) L'intégrale fléchée où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty, N \to +\infty} \int_{-N}^{M} f(x)dx$$ existe et soit fini.

3) La valeur principale où il suffit que $$\lim_{M\to +\infty} \int_{-M}^{M} f(x)dx$$ existe et soit fini.

Les notations que j'utilise sont respectivement $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx, \quad \int_{\to -\infty}^{\to +\infty} f(x) dx, \quad v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx.$$

Evidemment si on admet une intégrale fléchée, on admet une valeur principale mais la réciproque n'est pas forcément vraie.

@gebrane
Une petite remarque sur une chose passée inaperçue.
Dès ton message original, tu considère la suite pour $a>0$ fixé : $n \mapsto \int_{-na}^{na} f(x) dx $
Puis dans le cas de convergence, tu sembles noter la limite : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$.(**)

Je souhaite juste faire remarquer que l'on peut obtenir des limites bien différentes qui dépendent, en fait, des deux suites intervenant dans les bornes d'intégration. On peut noter : $n \mapsto \int_{u_n}^{v_n} f(x) dx$ pour la discussion, où la suite $u$ tend vers $-\infty$ et la suite $v$ vers $+\infty$.
En cas de convergence de l'intégrale (au sens généralisée, par exemple), on aura la même limite quelles que soient les suites $u$ et $v$ (tendant vers l’infinie) dans les bornes d'intégration.
Mais en cas de non convergence de l'intégrale, on peut parfois trouver des suites particulières (dans les bornes) qui permettent de faire converger la suite.
Par exemple : $n \mapsto \int_{-n}^{n} x dx$ converge vers $0$ sans que l'intégrale sur $\mathbb R$ de l'identité converge.



NB: (**)
J'ai volontairement changé l'argument en $f(x)$ et également volontairement changé les bornes de l'intégrale (tu avais mis sur $\mathbb R$ et j'ai mis deux bornes infinies).