Métrique lente

Bonjour
Pouvez-vous m'aider avec cette question.

Soit $P(x)$ un polynôme avec variable $x\in\mathbb{R}^d$ et degré $r$. On note $$R_P(x)=\sum\limits_{1\le |\alpha|\le r}\Big|\partial_x^{\alpha}P(x)\Big|^{\frac{1}{|\alpha|}}
$$ Montrer que la métrique $$\big\langle \log\big(R_P(x)\big)\big\rangle^2dx^2$$ est lente i.e montrer qu'il existe une constante $c>0$ tel que $$\sqrt{1+\Big(\log(R_P(y))\Big)^2}\ \ |x-y|\le 1\ \ \Longrightarrow\ \ \Bigg(\frac{\sqrt{1+\Big(\log(R_P(x))\Big)^2}}{\sqrt{1+\Big(\log(R_P(y))\Big)^2}}\Bigg)^{\pm 1}\le c
$$ Merci.