Équation différentielle 2nd ordre coeff. var

Ribrice
Ribrice
dans Analyse
Bonjour, j'aimerais revenir sur la discussion présente dans le lien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,256676,256795#msg-256795
Je souhaite comprendre la partie en gras ci-dessous dans la réponse d'Aries:
Aries a écrit:
Équation homogène $(E_0)$: C'est une équation d'Euler.
On recherche les solutions sous la forme $y(t) = t^r$ où $t>0$
$y'=rt^{r-1}$ et $y''=r(r-1)y^{r-2}$
En injectant dans $(E_0)$ on obtient : $r^2-5r+6=0$
dont la solution est le couple $(2,3)$
D’où, $S_0 = \{At^2+Bt^3 , (A,B)\in R\}$

Recherche d'une solution particulière:
utilise le théorème de variation de la constante.
Merci d'avance
Brice

Réponses

  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    C'est une équation d'Euler fait le changement de variables indiqué pour te ramner au cas d'une équation linéaire à coefficients constants.
  • Ribrice
    Ribrice
    Bonjour BobbyJoe,

    je souhaite comprendre d'où provient l'E.C "r²-5r+6=0" après avoir injecté y; y' et y"

    je suis d'accord sur:
    y= x^n
    y'= n (x^n-1) = n (x^n/x)
    y''= n(n-1) (x^n-2)=n(n-1)(x^n/x^2)

    mais je vois pas comment réintégrer ça et trouver l'E.c correspondante.

    Je demande ça car j'ai essayé une autre méthode qui est:
    On ne connaît aucune solution particulière de (E0) alors on cherche la solution générale yH(x) de (E0) sous la forme d'un produit de fonctions inconnues : yH = u(x) z(x)

    On choisit la fonction u(x) pour rendre nul le facteur de z'(x). L'équation différentielle du deuxième ordre en z"(x) ainsi obtenue peut "dans certains cas" s'intégrer facilement.

    En effet si y(x) = u(x) z(x)

    alors y'(x) = u'(x) z(x) + u(x) z'(x)

    et y"(x) = u"(x) z(x) + 2 u'(x)z'(x) + u(x) z"(x)

    Reportons dans l'équation (E0)

    u" z + 2 u' z' + u z" + A(x)(u'z + uz') + B(x) uz = 0
    u z" + (2u' + A(x) u) z' + (u" + A(x) u' + B(x) u) z = 0

    En choisissant la fonction u(x) telle que le facteur de z'(x) soit nul, c'est à dire : 2 u'(x) + A(x) u(x) = 0 par intégration nous obtenons u(x) et la résolution de l'équation différentielle réduite : u z" + (u" + A(x) u' + B(x) u) z = 0 conduit à z(x). La connaissance des fonctions u(x) et z(x) détermine la solution générale yH de (E0).

    et je trouve u= LAMBDA x², une fois u trouvé, je réinjecte dans l'E.D réduite uz"+z(8LAMBDA)=0
    j'intégre z" car uz"=0 par deux fois pour trouver z=K1x+K2 mais du coup si je fais ça revient à dire que z(8LAMBDA)=0 or ça je ne suis pas forcement convaincu
  • roumegaire
    roumegaire
    Il faut repartir de l'équation (homogène) de départ et effectuer le changement de variable $y=z\big(\ln(x)\big)$. Cela te donne $y'=\dfrac{z'}{x}$ et $y''=\dfrac{z''-z'}{x^2}$. En réinjectant dans l'équation de départ on se ramène à $z''-5z'+6z=0$ et là tu peux appliquer la méthode d'Aries.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Non mais tu peux tout aussi bien faire le changement de variables $y=z\big(\ln (t)\big),$ c'est la même chose, c'est du pur calcul ...
    Il faut utiliser l'équation satisfaite par $y$ et prendre $r$ bien choisi
  • Ribrice
    Ribrice
    roumegaire écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1571416,1571438#msg-1571438
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    mais y=zln(x) si z est une variable, c'est de la forme u*v = u'v+v'u donc y'= 1(lnx) +z*(1/x) non ?
  • roumegaire
    roumegaire
    $z$ est une fonction, pas une variable.
  • Ribrice
    Ribrice
    justement si z est une fonction,
    y est de la forme u*v
    y'= z'(lnx) + z(1/x)?
  • roumegaire
    roumegaire
    $y$ est de la forme $z\circ \ln$. Dérive-la comme une composée.
  • Ribrice
    Ribrice
    ah d'accord merci (:

    un grand merci en fait! je reprends mes études et je n'ai pas de support sur les équations d'Euler pour les E.D du second ordre à coefficient variable donc je me débrouille un peu en cherchant sur internet!
  • roumegaire
    roumegaire
    L'article Wikipedia donne les bases : forme générale + méthode de résolution. On se ramène à une équation différentielle à coefficients constants un peu plus digeste (pour l'équation homogène). Ensuite c'est la tambouille classique des équa diffs.

    Il y a beaucoup de ressources sur les équa diffs du 2nd ordre à coefficients non constants, cela dépend beaucoup de ton problème précis.
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