Je ne sais pas si je vais dire des bêtise, mais je pense qu'on la résout par la méthode des variables séparée. Il faut l'écrire par
$$
\dfrac{y'}{y^{1/3}}=1
$$
puis on utilise la formule implicite
$$
\displaystyle\int_{y_0}^y \dfrac{ds}{(s^{1/3})}= \displaystyle\int_{x_0}^x ds
$$
Dans votre cas $x_0=0$ et $y_0=0$.
mais avant de diviser il faut étudier l'existence et l'unicité du probème de Cauchy, pour enlever le cas où $y$ est identiquement nulle, et aussi le cas où $y$ s'annule en quelques points. On peut utiliser Cauchy Lipschitz.
On fonctionne par analogie alors qu'on est dans l'ère du numérique ^^.... C'est juste un pied de nez à cette phrase que je ne supporte plus sur mes copies.... "Par analogie, blah blah" ... C'est d'une tristesse
@bib : Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas car la fonction concernée n’est pas lipschitzienne au voisinage de $0$. En l’occurrence il y a une infinité de solutions sur $\mathbb R$ à ce problème de Cauchy.
zute j'ai pas pris le temps de bien regarder. Comme la formulation forte de Cauchy lipschitz ne marche pas, alors on conclut que ce problème admet une infinité de solutions. Par contre pour diviser sur $y$, il va falloir le faire au voisinage d'un point $x_0$ où $y$ ne s'annule pas.puis calculer $\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{y'}{y^{1/3}} dx= \displaystyle\int_{x_0}^x dx$
le problème est qu'à la fin, comment on pourra remplaçer $x_0$ par $0$ vu que $y(0)=0$!
d'un autre côté on ne peut pas supposer que $y$ ne s'annule jamais car c'est une inconnu, donc comment on peut justifier rigoureusement la division par $y^{1/3}$?
Mais par contre, il y a unicité backward (ou forward... moi et l'anglais) car la fonction $f$ est VB (BV en français)... Mais bon ...
C'est d'ailleurs un joli résultat...
Poirot dit qu'il existe une infinité de solutions définies sur $\R$ ( sauf mauvaise lecture)
Bobbyjoé dit qu'il existe une seule solution définie sur $\R$ ( sauf mauvaise lecture)
@bobbyjoe Moi je ne trouve pas une infinité qui soit définie sur $\R$
demain peut être je verrais mieux;-)
editPoirot a raison comme toujours ( je me rappelle de Tryss pour une question similaire)
les solutions peuvent s’écrire $y(t) = (\frac 23)^{3/2} (t-c)^{3/2}$ si $t\geq c$ et $y(t)=0$ si $t\leq c$ avec $c>0$ ou $c=+\infty$ ( pour integrer la solution nulle
Réponses
Pour trouver les solutions, la méthode est classique, on divise par $y^{1/3}$ sous les bonnes hypothèses et on intègre.
$$
\dfrac{y'}{y^{1/3}}=1
$$
puis on utilise la formule implicite
$$
\displaystyle\int_{y_0}^y \dfrac{ds}{(s^{1/3})}= \displaystyle\int_{x_0}^x ds
$$
Dans votre cas $x_0=0$ et $y_0=0$.
mais avant de diviser il faut étudier l'existence et l'unicité du probème de Cauchy, pour enlever le cas où $y$ est identiquement nulle, et aussi le cas où $y$ s'annule en quelques points. On peut utiliser Cauchy Lipschitz.
Une primitive de $\dfrac{y'}{y^n}$ doit être dans ton formulaire.
Cordialement,
Rescassol
le problème est qu'à la fin, comment on pourra remplaçer $x_0$ par $0$ vu que $y(0)=0$!
d'un autre côté on ne peut pas supposer que $y$ ne s'annule jamais car c'est une inconnu, donc comment on peut justifier rigoureusement la division par $y^{1/3}$?
Puisque naforito croit qu'il y a une seulement , je lui donne la fonction nulle comme solution ;-)
C'est d'ailleurs un joli résultat...
Poirot dit qu'il existe une infinité de solutions définies sur $\R$ ( sauf mauvaise lecture)
Bobbyjoé dit qu'il existe une seule solution définie sur $\R$ ( sauf mauvaise lecture)
Moi je ne trouve pas une infinité qui soit définie sur $\R$
demain peut être je verrais mieux;-)
edit Poirot a raison comme toujours ( je me rappelle de Tryss pour une question similaire)
les solutions peuvent s’écrire $y(t) = (\frac 23)^{3/2} (t-c)^{3/2}$ si $t\geq c$ et $y(t)=0$ si $t\leq c$ avec $c>0$ ou $c=+\infty$ ( pour integrer la solution nulle
$f_a(x)=0$ si $x<a$ et $f_a(x)=c_a (x-a)^{3/2}$ pour $x\geq a$, avec $c_a$ à ajuster.
Mis en blanc ;-) Poirot ]
C'est ce que j'ai proposé et mis en blanc pour laisser à naforito le temps pour retrouver ces solutions