Bon, pas de réponse. Si c'est bien le cas, j'écris ceci : $f^{~\prime }(x)=f(-x)^{2}f(x)$, qui implique : $2f(x)f^{~\prime }(x)=2f(-x)^{2}f(x)^{2}$, d'où par intégration :
$f(x)^{2}-1= f(x)^{2}-f(0)^{2}=\int_{0}^{x}2f(t)f^{~\prime}(t)dt=2\int_{0}^{x}f(t)^{2}f(-t)^{2}dt$.
La fonction du second membre est impaire, ce qui implique : $f(-x)^{2}-1=-(f(x)^{2}-1)$, soit : $f(-x)^{2}=2-f(x)^{2}$.
L'équation différentielle proposée devient : $f^{~\prime }(x)=(2-f(x)^{2})f(x)$, équation différentielle ordinaire, à variables séparables, etc.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Ce n'est pas terminé, il faut achever la résolution. On le fera en s'inspirant de la technique traditionnelle propre aux équations différentielles scalaires du premier ordre à variables séparables, mais en évitant les les bidouillages approximatifs qui entachaient jadis sa rédaction.
D'abord à l'évidence on a : $\left\vert f(x)\right\vert \leq \sqrt{2}$. On doit pouvoir prouver que $f(x)\geq 0$.
Il existe un intervalle maximal $I$ tel que $ 0\in I$ et que : $\forall x\in I,0<f(x)<\sqrt{2}$.
Pour $x \in I$, l'équation différentielle que nous avons obtenue s'écrit : $1=\frac{f^{~\prime }(x)}{f(x)(2-f(x)^{2})}$.
Décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples : $1=\frac{f^{~\prime }(x)}{2f(x)}-\frac{f^{~\prime }(x)}{4(f(x)-\sqrt{2})}-\frac{f^{~\prime }(x)}{4(f(x)+\sqrt{2})}$.
D'où il suit pour $x \in I$ : $x=\int_{0}^{x}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)}dt-\frac{1}{4}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)-\sqrt{2}}dt-\frac{1}{4}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)+\sqrt{2}}dt$.
Ce qui conduit à : $f(x)=\sqrt{\frac{2}{e^{-4x}+1}}$.
Il en résulte que $I=\mathbb R$, et le problème est résolu.
Il reste quelques zones d'ombre dans cette solution, je compte sur les autres.
C'est un beau problème, qui fait honte aux concepteurs des programmes de classes prépas pour avoir supprimé de ces programmes les équations différentielles autres que linéaires.
Le questionneur initial aura-t-il la bonté de nous indiquer l'origine de cet énoncé ?
Je trouve comme toi, mais j'ai une question sur la rédaction. Puis-je régider ainsi ?
On part de $\displaystyle \forall x \in \R, f'(x) = (2-f^2(x))f(x)$ qui est une condition nécessaire.
Et puis, on sort de nulle part la fonction : $\displaystyle g: \R \to \R, x \mapsto {\sqrt{2} \over \sqrt{1+e^{-4x}}}.$ Cette fonction est définie et dérivable sur $\R$, avec $\displaystyle g(0)=1$ et on calcule la fonction dérivée pour établir $\displaystyle \forall x \in \R, g'(x) = (2-g^2(x))g(x).$ On en déduit (théorème du cours sur l'unicité) que $\displaystyle f=g.$
Je ne vois pas pourquoi il conviendrait de faire semblant de sortir de nulle part la fonction-solution, puisqu'on peut la sortir d'un calcul tout à fait compréhensible.
Mon préambule : $\left\vert f(x)\right\vert \leq \sqrt{2}$ et $f(x)\geq 0$ est en fait inutile.
Comme $f(0)=1$, et que $f$ est continue, il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $0$ et tel que $\forall x\in J,0<f(x)<\sqrt{2}$. Il existe donc un tel intervalle ouvert maximal $I$, qui est la réunion de tous les intervalles ouverts $J$ jouissant de cette propriété.
Sur cet intervalle $I$, le calcul que j'ai indiqué convient, et il conduit exactement à la fonction $f(x)=\sqrt{\frac{2}{e^{-4x}+1}}$. Comme cette fonction est définie sur $\mathbb R$ tout entier, elle est la solution de l'équation différentielle $f^{~\prime }(x)=(2-f(x)^{2})f(x)$ sous la condition $f(0)=1$. On vérifie qu'elle est solution de l'équation initialement proposée... dont on ne sait toujours pas d'où elle provient. Merci quand même.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
J'ajoute que la méthode proposée s'applique à toute même équation initiale avec $f(0)=a>0$ donné. Le cas $f(0)=a<0$ s'en déduit en changeant $f$ en $-f$. Le cas $f(0)=0$ donne la solution nulle.
Réponses
Ici, les $ ne coûtent rien...
$f(x)^{2}-1= f(x)^{2}-f(0)^{2}=\int_{0}^{x}2f(t)f^{~\prime}(t)dt=2\int_{0}^{x}f(t)^{2}f(-t)^{2}dt$.
La fonction du second membre est impaire, ce qui implique : $f(-x)^{2}-1=-(f(x)^{2}-1)$, soit : $f(-x)^{2}=2-f(x)^{2}$.
L'équation différentielle proposée devient : $f^{~\prime }(x)=(2-f(x)^{2})f(x)$, équation différentielle ordinaire, à variables séparables, etc.
Bonne journée.
Fr. Ch.
D'abord à l'évidence on a : $\left\vert f(x)\right\vert \leq \sqrt{2}$. On doit pouvoir prouver que $f(x)\geq 0$.
Il existe un intervalle maximal $I$ tel que $ 0\in I$ et que : $\forall x\in I,0<f(x)<\sqrt{2}$.
Pour $x \in I$, l'équation différentielle que nous avons obtenue s'écrit : $1=\frac{f^{~\prime }(x)}{f(x)(2-f(x)^{2})}$.
Décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples : $1=\frac{f^{~\prime }(x)}{2f(x)}-\frac{f^{~\prime }(x)}{4(f(x)-\sqrt{2})}-\frac{f^{~\prime }(x)}{4(f(x)+\sqrt{2})}$.
D'où il suit pour $x \in I$ : $x=\int_{0}^{x}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)}dt-\frac{1}{4}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)-\sqrt{2}}dt-\frac{1}{4}\int_{0}^{x}\frac{f^{~\prime }(t)}{f(t)+\sqrt{2}}dt$.
Ce qui conduit à : $f(x)=\sqrt{\frac{2}{e^{-4x}+1}}$.
Il en résulte que $I=\mathbb R$, et le problème est résolu.
Il reste quelques zones d'ombre dans cette solution, je compte sur les autres.
C'est un beau problème, qui fait honte aux concepteurs des programmes de classes prépas pour avoir supprimé de ces programmes les équations différentielles autres que linéaires.
Le questionneur initial aura-t-il la bonté de nous indiquer l'origine de cet énoncé ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
27/11/2017
en prépas. Je trouvais bien les études qualitatives.
Je trouve comme toi, mais j'ai une question sur la rédaction. Puis-je régider ainsi ?
On part de $\displaystyle \forall x \in \R, f'(x) = (2-f^2(x))f(x)$ qui est une condition nécessaire.
Et puis, on sort de nulle part la fonction : $\displaystyle g: \R \to \R, x \mapsto {\sqrt{2} \over \sqrt{1+e^{-4x}}}.$ Cette fonction est définie et dérivable sur $\R$, avec $\displaystyle g(0)=1$ et on calcule la fonction dérivée pour établir $\displaystyle \forall x \in \R, g'(x) = (2-g^2(x))g(x).$ On en déduit (théorème du cours sur l'unicité) que $\displaystyle f=g.$
On vérifie la réciproque. Et on conclut.
corrigé erreur de frappe
g(0)=1?
Je prends plutôt $g(x)=\displaystyle {\sqrt{2} e^{2x}\over \sqrt{1+e^{4x}}}$. ce g vérifie bien la condition nécessaire
Mon préambule : $\left\vert f(x)\right\vert \leq \sqrt{2}$ et $f(x)\geq 0$ est en fait inutile.
Comme $f(0)=1$, et que $f$ est continue, il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $0$ et tel que $\forall x\in J,0<f(x)<\sqrt{2}$. Il existe donc un tel intervalle ouvert maximal $I$, qui est la réunion de tous les intervalles ouverts $J$ jouissant de cette propriété.
Sur cet intervalle $I$, le calcul que j'ai indiqué convient, et il conduit exactement à la fonction $f(x)=\sqrt{\frac{2}{e^{-4x}+1}}$. Comme cette fonction est définie sur $\mathbb R$ tout entier, elle est la solution de l'équation différentielle $f^{~\prime }(x)=(2-f(x)^{2})f(x)$ sous la condition $f(0)=1$. On vérifie qu'elle est solution de l'équation initialement proposée... dont on ne sait toujours pas d'où elle provient. Merci quand même.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Mon g qui est le même que ton g vient de wolfram https://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)+=f(x)+(2-(f(x))^2)
:-D
Complètement d'accord
Toute la classe de quel niveau ?