Densité des fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$
Bonsoir à tous,
Préparant l'agrégation je souhaiterais faire en développement la densité des fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$ à support compact dans les $\mathcal{L}^{p}$.
Mes questions sont les suivantes.
- Dans le cas où $p<\infty$ j'utilise la densité des fonctions $\mathcal{C}^{0}$ à support compact, qui, d'après ce que j'ai compris découle de la construction de la mesure de Lebesgue (Hors programme). Puis-je admettre cette densité ? La démonstration me parait complexe ...
- Dans le cas $p=\infty $ je me suis restreint au cas où $f$ est uniformément continue, car le résultat est faux sinon (d'après ce que j'ai compris...), ce cas n'est-il pas trop restrictif ?
Cordialement.
Un agrégatif en détresse.
Préparant l'agrégation je souhaiterais faire en développement la densité des fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$ à support compact dans les $\mathcal{L}^{p}$.
Mes questions sont les suivantes.
- Dans le cas où $p<\infty$ j'utilise la densité des fonctions $\mathcal{C}^{0}$ à support compact, qui, d'après ce que j'ai compris découle de la construction de la mesure de Lebesgue (Hors programme). Puis-je admettre cette densité ? La démonstration me parait complexe ...
- Dans le cas $p=\infty $ je me suis restreint au cas où $f$ est uniformément continue, car le résultat est faux sinon (d'après ce que j'ai compris...), ce cas n'est-il pas trop restrictif ?
Cordialement.
Un agrégatif en détresse.
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Réponses
Je compte aussi la passer donc la réponse m’intéresse.
C'est ce que je fais déjà mais ce qui me dérange c'est d'utiliser la densité des fonctions continues, dont la preuve me parait hors de portée . C'est surtout le cas $p=\infty$ qui me pose problème, je ne sais pas si il y a quelque chose d'intéressant à prouver ...
Pour le cas $p=\infty$ que veux-tu prouver ?
Je dirais adapte ta preuve au cas du tore (ou les problèmes de régularité de la mesure ne sont pas trop visibles) en utilisant les moyenne de Féjer.