Suites

Tu ne démarres pas déjà le 1. a) ?

Quelle est la méthode à quoi l'on pense en premier lorsque la question est « démontrer que ... » et qu'il s'agit de suites ?

Bien. Tu dois prouver par récurrence l'assertion $P(n)$ : « $0<b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1} \leq a_{n}$ ».
Commence par l"initialisation, en guise d'échauffement.
Bon courage.
Fr. Ch.

Bloy.noel et moi, nous savons faire l'exo. Qu'est-ce qu'on est bons !

Si je comprends bien, c'est la question 1. b) pour laquelle tu patauges ?
Prends en compte la remarque indispensable de YvesM, par parenthèse une telle faute sur un énoncé si classique, c'est un scandale !
Exprime $a_{n+1}- b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$, utilise l'identité remarquable $(x-y)^2$.
Tu progresses.

@ Bloy.noel
Il ne s'agit pas de bonté, c'était plutôt, disons « fortitude », c'était pour dire qu'il ne s'agissait pas de traiter l'exercice à la place du questionneur, qu'il valait mieux lui laisser le plaisir de trouver. Et ton « document », il pourra le lire plus tard à la veillée, mais il est tout à fait injustifié de lui en imposer l'étude juste pour traiter cet exercice.
NB. Merci pour Brel, c'est toujours un plaisir de le revoir.

Écris l'inégalité demandée, la vraie : $a_{n+1}-b_{n+1} \leq \frac {1}{2} (a_{n}-b_{n})$ et fais ce que j'ai dit dans mon précédent message.
Observe que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=...$, et aussi, allez : $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=...$.




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L'inégalité que tu veux établir est : $a_{n+1}-b_{n+1}\leq \frac{1}{2}(a_{n}-b_{n})$, autrement dit : $\frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})-\sqrt{a_{n}b_{n}}\leq \frac{1}{2}(a_{n}-b_{n})$.
Multiplie par 2 : $a_{n}+b_{n}-2\sqrt{a_{n}b_{n}}\leq a_{n}-b_{n}$.
Et là utilise les identités remarquables dont je t'ai parlé.

Ceci c'est pour chercher ; pour rédiger c'est à l'envers.
Ça ira ?

Bon, on avance.
N'aie pas peur.
Voici une suite $d_n=b_n-a_n$.
Tu as prouvé que $d_{n+1} \leq \frac 12 d_n$.
Tu veux en déduire que $d_{n} \leq \frac { 1}{2^n} d_0$.
Tu es certain que c'est difficile ?

Ce n'est pas tout à fait une suite géométrique, mais c'est le même mécanisme.
Et ne t'en fais pas, tu acquerras plus d'aisance en faisant beaucoup d'exercices, et sur ce forum il y a pas mal de gens qui sont prêts à aider les gens comme toi qui font des efforts.
On continue jusqu'à la fin.

Une suite géométrique, ce serait : $d_{n+1} = \frac 12 d_n$, mais $d_{n+1} \leq \frac 12 d_n$ ça marche de même.

Tu n'as pas quelque chose dans ton cours à propos de deux suites comme ça, l'une croissante, l'autre décroissante, etc. ?

Corrige tes fautes de frappe.
Et utilise ton cours sur les suites.