Question concernant les dérivées partielles.

Hint · November 2017

Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*$X $\mathbb{R}_+^* , \mathbb{R})$. On pose le changement de variable $u = \ln(x)$ et $v=\ln(y)$, et on pose $F(u,v) = f(x,y)$.

J'aimerais savoir pourquoi $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(F(u,v))$ et quelle(s) est (sont) la (les) différence(s) entre $\frac{\partial^2}{\partial x^2}(F(u,v))$ $\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(u,v)$ ?

Merci d'avance !

math2 · November 2017

Pour répondre "à la différence entre", le premier terme correspond à la dérivée seconde par rapport à $x$ deux fois de ta fonction $(x,y) \mapsto F(u(x,y),v(x,y))$ quand au deuxième c'est la dérivée seconde de $f$ deux fois par rapport à sa première variable.

Déjà en dimension $1$, disons avec $f(x)=x^3$, si tu écris $\frac{df}{dx}(x^4)$, je comprends $3 (x^4)^2=3 x^8$ mais si tu écris $\frac{d}{dx}f(x^4)$ je comprends la dérivée de $(x^4)^3=x^{12}$ donc $12 x^{11}$.

Je n'ai pas vérifié l'égalité (je n'aime pas la manière dont c'est posé avec des noms de variables qui changent sans écrire proprement $u(x,y)=...$), mais je pense qu'avec la non confusion des deux écritures, et le fait de poser proprement le changement de variables, tu devrais pouvoir t'en sortir.

Hint · November 2017

Donc si je comprends bien si $F: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}F(u(x,y),v(x,y))=\frac{\partial^2Id_\mathbb{R^p}}{\partial x^2}(F(u(x,y),v(x,y))$
où $Id_\mathbb{R}p:x \longmapsto x $ ?

Hint · November 2017

où $Id_\mathbb{R}^p : x \longrightarrow x $

math2 · November 2017

Oublions déjà les dérivées secondes, c'est pareil à l'ordre $1$ et moins lourd à taper ...

Je note $\partial_i F$ la dérivée partielle de $F$ par rapport à sa $i-$ème variable. A titre personnel je trouve ces notations supérieures à celles avec des $x$ ou $y$ en bas.

Ainsi $\frac{\partial F}{\partial x}(u(x,y),v(x,y))$ c'est $\partial_1 F(u(x,y),v(x,y))$

tandis que ton terme (à l'ordre 1) :

$\frac{\partial}{\partial
x}F(u(x,y),v(x,y))$ est la dérivée par rapport à $x$ de $x\mapsto F(u(x,y),v(x,y))$, donc c'est (formule de composition) $\partial_1 F(u(x,y),v(x,y)). \partial_1 u(x,y)+\partial_2 F(u(x,y),v(x,y)). \partial_1 v(x,y)$.

Encore un exemple :
Si je note $F(x,y)=x^2+y^3$ :
$\frac{\partial F}{\partial x}(y,x)=2y$ (je dérive $F$ par rapport à sa première variable, puis j'échange $x$ et $y$)
et $\frac{\partial }{\partial x}F(y,x)$ c'est $3x^2$ (je change $x$ et $y$ dans l'expression, puis je dérive par rapport à $x$).

Question concernant les dérivées partielles.

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