Formule intégrale de Grönwall

Bonsoir
J'ai ce lemme de Gronwall.

"Supposons qu'une fonction $x$ continue de $I=[0,T]$ sur $\mathbb{R}^+$, $T\in\mathbb{R}$ vérifie $$x(t)\leq b(t)+\int_0^t a(s) x(s) ds$$ pour tout $t\in I$ où $a,b$ sont deux fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{R}^+$. Alors, on a l'inégalité
$$x(t)\leq b(t)+\int_0^t \exp\Big(\int_{s}^t a(\sigma)d\sigma\Big) b(s) a(s) ds$$ pour tout $t\in[0,T]$"

Il est dit que si $b$ est dérivable en utilisant l’intégration par partie on obtient que $$x(t)\leq b(0)\exp\Big(\int_0^t a(s)ds\Big)+\int_0^t b'(s)\exp\Big(\int_s^t a(\sigma)d\sigma\Big)ds
$$ J'ai posé $u= b(s)$ et $dv=\big(\int_{s}^t a(\sigma)d\sigma\big) a(s) ds $
Je n'arrive pas à trouver $v$ pour appliquer l’intégration par parties.
Merci pour votre aide.