principe du prolongement analytique

bonsoir j'aimerais avoir votre appréciation face a cet exposé portant sur la démonstration du théorème du prolongement analytique.\\

\section*{introduction}

Grâce à un travail acharné, le célèbre mathématicien français Augustin Louis Cauchy a permis de montrer en analyse complexe que dans un ouvert du plan complexe, les notions de fonctions holomorphes et de fonctions analytiques coïncident. Ce résultat nous permettra de confondre tout au long de notre exposé ces deux notions. La théorie du prolongement analytique puisqu'il s'agit de cela explique l'ensemble des propriétés et techniques concernant le prolongement des fonctions holomorphes tout en tenant compte des singularités et des complications d'ordre topologiques qui les accompagnent. Cette théorie amène a des difficultés inattendues pour des fonctions aussi simple que la racine carrée et le logarithme complexe
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}\\
\section{Position du problème du prolongement analytique}
Étant donné une fonction analytique complexe dans un domaine $\Gamma$ ,la théorie se pose essentiellement deux questions \
Quelle est le plus grand dans lequel la fonction est holomorphe?\\
Peut-on étendre ce domaine plus vaste tout en faisant une extension de la fonction holomorphe ?\\
Exemple \


Posons\\
$\Omega_s= \{ z \in \mathbb {C}: \Re(z)> s \}$ et
Considérons la fonction $\Gamma (z)= \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t} dt$.
On sait que $\Gamma $ est holomorphe sur $ \Omega_0 $ Et en faisant une intégration par parties on montre que l'équation fonctionnelle $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ est vérifiée et ceci permet d'étendre $\Gamma $ sur $\Omega_{-1} \backslash\{0\}$ en considérant la fonction
$$ h:\Omega_{-1} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb {C}$$ telles que:
$h(z)=\Gamma(z)$ si $z\in \Omega_0 $ et $h(z)=\frac{\Gamma (z+1)}{z}$ sinon.
La fonction $z\longmapsto \frac{\Gamma (z+1)}{z}$ est holomorphe dans $\Omega_{-1} \backslash(\{\Omega_0\} \cup\{0\})$ comme rapport et composées de fonctions holomorphes donc $h$ est holomorphe. Puisque $\Omega_{-1} \backslash\{0\}$ est un ouvert non vide, il admet un point d' accumulation. On peut donc conclure par le principe du prolongement analytique que $h$ prolonge $\Gamma$ de façon unique dans $\Omega_{-1} \backslash\{0\}$. On peut raisonner par récurrence et obtenir un prolongement analytique de $\Gamma$ sur $\mathbb{C}\backslash\{0;-1;-2;...\}$.\\

\section{Rappel de quelques définitions et résultats}
$ \mathbb{C} $ désigne le plan complexe, $\Omega$ une partie ouverte de $ \mathbb{C} $. Pour $z_o\in \Omega$ et $r\in \mathbb{R_+^*}$, $D(z_o,r)=\{z\in \mathbb{C}:|z-z_o|<r\}$ est le disque centré en $z_o$ de rayon $r$.
$f:\Omega \longleftarrow \mathbb{C}$ une fonction complexe.\\
\subsection{Définitions}
-$f$ est dite analytique en un point $z_o \in \Omega$ s'il existe une suite $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de nombres complexes et un disque $D(z_o,r)\subset \Omega$ tels que sur $D(z_o,r)$, on a $f(z)=\sum_0^{\infty} a_n(z-z_o)^n$.
\\ On dit que $f$ est analytique dans $\Omega$ si $f$ est analytique en tout point $z_o$ de $\Omega$.
\\ -$f$ est dite holomorphe en un point $z_o \in \Omega$ si $lim_{h\to 0}\frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}\in \mathbb{C}$ ( En d'autres termes, $f$ est dérivable au sens complexe en $z_o$).
\\-$f$ est dit holomorphe sur $\Omega$ si $f$ l'est en tout point de $\Omega$.
\\-Un point $z_o$ est un point d'accumulation d'un ensemble non vide $A$ si tout disque centré en $z_o$ rencontre $A\backslash\{z_o\}$.
\\-$\mathcal{Z}(f)=\{z\in \mathbb{C}:f(z)=0\} \equiv$ Ensemble des zéros de $f$.
\\-$f\equiv 0$ Signifie que $f$ est l'application identiquement nulle.
\\-$\forall n \in \mathbb{N}$, $f^{(n)}$ désigne la dérivée d'ordre n de $f$. $f^{(0)}=f$, $f^{(1)}=f'$, $f^{(n+1)}=(f^{(n)})'$.\\
\subsection{ Quelques résultats}
-$\Omega$ est dit connexe si ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont le vide et lui même.
\\-Un ensemble $A$ est dit ouvert dans $\Omega$ s'il est voisinage de chacun de ses points.
\\-Un ensemble $A$ est dit fermé dans $\Omega$ si toute suite de points de $A$ converge dans $A$.\\
\section{Théorème des zéros isoles: version séries entières}
\subsection{énoncé}
Soit $f(z)=\sum a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $\rho>0$. Si au moins un des $a_n$ n'est pas nuls, il existe un $r\in ]0;+\infty[$ tel que $f$ ne s'annule pas pour $|z| \in ]0;r[$.\\
Ce résultat nous aidera dans notre exposé. Pour cela nous allons le démontrer et l'appliquer au moment opportun.
\subsection{Preuve}
Soit $p$ le petit entier tel que $a_p \neq 0$. Alors, $f(z)=\sum_0^{\infty} a_n(z-z_o)^n=z^pg(z)$ avec
$g(z)=a_p+a_{p+1}z+...$.
On a $g(0)=a_p\neq 0$. comme $g$ est la somme d'une série entière, elle est continue à l'intérieur de son disque de convergence donc il existe un réel strictement positif $r$ tel que pour $z\in D(o;r)$ on a $|g(z)|\neq 0$ donc pour $|z| \in ]0;r[$ on a $g(0)\neq 0$ e
t donc $f(z)\neq 0$ ainsi on obtient le résultat escompté.
\section{Théorème du prolongement analytique et démonstration}
\subsection{énoncé}
soit $\Omega$ un ouvert connexe et f une fonction holomorphe sur $\Omega$. Si $\mathcal{Z}(f)=\{z\in \mathbb{C}:f(z)=0\}$ admet un point d accumulation dans $\Omega$ alors $f\equiv 0$.
\subsection{démonstration du théorème}
Hypothèse: $\mathcal{Z}(f)=\{z\in \Omega:f(z)=0\}$ et $a$ un point d'accumulation dans $\Omega$
\\il est question ici de construire un ensemble A non vide à la fois ouvert et fermé afin d'utiliser la connexité de $\Omega$.\\
Soit $a$ un point d'accumulation de $\mathcal{Z}(f)=\{z\in \Omega:f(z)=0\}$ dans $\Omega$ et $r>0$ tel que $f(z)=\sum_0^{\infty} a_n(z-a)^n$ sur $z\in D(a,r)$.
Puisque $D(a;r)\cap\mathcal({Z}(f)\backslash\{a\})\neq \emptyset$ alors il existe $b\in D(a,r)$ tel que $f(b)=0$ en utilisant la contraposée du théorème précédent, pour tout $n\in \mathbb{N},a_n=0$ et donc $f \equiv 0$ sur $D(a,r)$.
Posons: $A=\{b\in \Omega$: $f$ est nulle sur un disque centré en $b\}$
\\a.) Montrons que $A$ est non vide.\\
On a: $a\in A$ d'après ce qui précède.
\\b.) Montrons que $A$ est ouvert.\\
Soit $b\in A$ cherchons $r_o>0$ tel que $D(b,r_o)\subset A$.
Puisque $b\in A$ alors il existe $r>0$ tel que $f_{\scriptscriptstyle{\vert D(b,r)}} \equiv 0$
soit $c\in D(b,r)$ posons $r_1=min\{r-\frac{|a-c|}{2};\frac{|a-c|}{2}\}$; on a $D(c,r_1)\subset D(b,r)$
donc $f_{\scriptscriptstyle{\vert D(c,r_1)}} \equiv 0$ donc $c\in A$ et comme $c$ est quelconque on a $D(b,r)\subset A$.
prendre $r_o=r$.
\\c.) Montrons que $A$ est fermé.\\
Soit $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset A$ telle que $lim$ $b_n=b$ montrons que $b\in A$
puisque pour tout $n\in \mathbb{N}$ $b_n\in A$, alors il existe $r_n>0$ tel que $f_{\scriptscriptstyle{\vert D(b_n,r_n)}} \equiv 0$.
D'autre part, comme $ b\in \Omega$ et que $f$ est analytique dans $\Omega$, il existe $r>0$ tel que $f(z)=\sum_0^{\infty} a_n(z-b)^n$ sur $D(b,r)$. Et comme $lim$ $b_n=b$ alors il existe $n_o \in \mathbb{N}$ tel que pour $n\ge n_o$, on a $\left\lvert b_n-b \right\rvert<r$.
Soit $m\geq n_o$ alors $ b_{m}\in D(b,r)$ donc $f(b_m)=\sum_0^{\infty} a_n(b_m-b)^n$ or $f(b_m)=0$ car $b_m \in A $ donc pour tout $ n\in \mathbb {N}$, $ a_n=0 $ et donc $f_{\scriptscriptstyle{\vert D(b,r)}} \equiv 0$ ainsi $b \in a$ d'où $A$ est fermé.\\

Puisque $A$ est non vide et à la fois ouvert et fermé et que $\Omega$ est connexe alors $A=\Omega$ et donc $f\equiv 0 $.
\section{Unicité du prolongement analytique}
En appliquant ce théorème sur la différence de deux fonctions analytiques on obtient l'unicité du prolongement analytique.\\
En effet, Si $f$ et $g$ sont deux fonctions analytiques sur un domaine $\Omega$ de $\mathbb{C}$ et si $f$ et $g$ coïncident sur une partie de $\Omega$ admettant un point d'accumulation dans $\Omega$, alors la fonction $f-g\equiv 0$ sur cette partie et comme $f-g$ est analytique sur $\Omega$ comme différence de fonctions analytique, on a d'après le théorème du prolongement analytique $f=g$ sur $\Omega$
Si possible bien vouloir m'aider à mieux structurer