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Différentielle seconde avec des matrices

Envoyé par Saturne 
Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
Bonjour,

Je suis perdu en calcul différentiel quand il s'agit de la différentielle seconde. Je ne sais pas comment m'y prendre.

J'ai cette fonction où la variable $\nu$ est un réel, la variable $\Sigma$ est une matrice, la matrice $W$ est un paramètre fixe et $g$ est une fonction dérivable tant qu'on veut ; les matrices sont inversibles.
$\newcommand{\D}{\textbf{D}}$
$\newcommand{\tr}{\text{tr}}$
$$
\ell(\nu, \Sigma) = g\left(\frac{\nu}{2}\right) - \frac{\nu}{2} \log |\Sigma| + \frac{\nu-p-1}{2} \log |W| -\frac{1}{2} \tr(\Sigma^{-1}W).
$$
Différentielle première:
$$
\D_{\nu_0,\Sigma_0}\ell =
\frac{1}{2}g'\left(\frac{\nu_0}{2}\right)\D\nu - \frac{1}{2}\log |\Sigma_0| \D\nu - \frac{\nu_0}{2} \tr{\Sigma_0^{-1}\D\Sigma} + \frac{1}{2}\log |W| \D\nu + \frac{1}{2} \tr(\Sigma_0^{-1}\D\Sigma\Sigma_0^{-1}W).
$$
Là je suis perdu pour chaque terme concernant la différentielle seconde. Pour le premier terme je vois bien que ça va faire intervenir $\frac{1}{4}g''\left(\frac{\nu_0}{2}\right)$ mais comment on note ce truc ?
$$
\D^2_{\nu_0,\Sigma_0}\ell = \frac{1}{4}g''\left(\frac{\nu_0}{2}\right) ??? + ? + ? +?
$$
Merci pour tout éclaircissement.
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
Personne inspiré jusqu'ici.

J'ai un exemple dans un livre. La différentielle première est, avec les notations du livre : $$
\textbf{d}f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1}).
$$ Avec mes notations (je préfère) : $$
\textbf{D}_{\Sigma_0}f = \text{tr}(\textbf{D}\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}),
$$ ce qui signifie : $$
\textbf{D}_{\Sigma_0}f(\Sigma) = \text{tr}(\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}).
$$ L'auteur écrit : $$
\textbf{d}^2f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\textbf{d}\Sigma^{-1})+ \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\textbf{d}\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1})
$$ Je ne comprends pas ce que ça veut dire. L'application $\textbf{d}^2f$ évaluée en un point (une matrice) devrait être une application linéaire à valeurs dans l'espace des applications linéaires. Quelle est cette application linéaire donnée par cette notation ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
Citation

$\textbf{d}^2f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\textbf{d}\Sigma^{-1})+ \ldots = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1}\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}) + \ldots $
Bon, j'ai vérifié que cela veut dire que l'application quadratique correspondant à $\textbf{d}^2f$ en $\Sigma_0$ est
$$
\Sigma \mapsto \text{tr}(\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}\Sigma\Sigma_0^{-1}) + \ldots
$$
J'arrive à faire mes calculs malgré mon incompréhension, mais je ne comprends toujours pas à $100\%$ ce que je fais.
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
avatar
Bonjour
Dans ce message [www.les-mathematiques.net] f c'est quoi au juste?

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
gebrane
Je ne sais plus, faut que je regarde dans le bouquin si ça t'intéresse. Mais je voulais juste donner un exemple du passage de $df$ à $d^2f$.

[Inutile de recopier le dernier message. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
avatar
ça m’intéresse ce f

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
En fait je me souviens que c'est juste un seul terme d'un vrai $df$. J'irai chercher $f$ après.
Re: Différentielle seconde avec des matrices
l’an passé
Sans connaître ton $f$, il n'est pas facile de te répondre car on ne voit guère quelles sont les variables et l'accroissement.

On s'y perd facilement dans une différentielle seconde ! Je te suggère, une fois que tu as calculé ton $df$, disons en tes variables $x=(\Sigma, \nu)$ (si j'ai bien vu) de l'écrire avec les "accroissements" $h=(h_\Sigma,h_\nu)$, disons $df(x).h=df(\Sigma,\nu). (h_\Sigma,h_\nu)$. Ton "accroissement" $(h_\Sigma,h_\nu)$ étant fixé, tu différencies désormais l'application $(\Sigma,\nu) \mapsto df(\Sigma,\nu). (h_\Sigma,h_\nu)$. Appelant $k=(k_\Sigma,k_\nu)$ ton nouvel accroissement, tu vas obtenir un terme qui dépend de $x$, $h$ et $k$. Le terme est bilinéaire (et symétrique) en $(h,k)$. La différentielle seconde (modulo un isomorphisme canonique) est cette application qui à $(h,k)$ associe ce que tu as trouvé.
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