Différentielle seconde avec des matrices

Saturne · November 2017

Bonjour,

Je suis perdu en calcul différentiel quand il s'agit de la différentielle seconde. Je ne sais pas comment m'y prendre.

J'ai cette fonction où la variable $\nu$ est un réel, la variable $\Sigma$ est une matrice, la matrice $W$ est un paramètre fixe et $g$ est une fonction dérivable tant qu'on veut ; les matrices sont inversibles.
$\newcommand{\D}{\textbf{D}}$
$\newcommand{\tr}{\text{tr}}$
$$
\ell(\nu, \Sigma) = g\left(\frac{\nu}{2}\right) - \frac{\nu}{2} \log |\Sigma| + \frac{\nu-p-1}{2} \log |W| -\frac{1}{2} \tr(\Sigma^{-1}W).
$$
Différentielle première:
$$
\D_{\nu_0,\Sigma_0}\ell =
\frac{1}{2}g'\left(\frac{\nu_0}{2}\right)\D\nu - \frac{1}{2}\log |\Sigma_0| \D\nu - \frac{\nu_0}{2} \tr{\Sigma_0^{-1}\D\Sigma} + \frac{1}{2}\log |W| \D\nu + \frac{1}{2} \tr(\Sigma_0^{-1}\D\Sigma\Sigma_0^{-1}W).
$$
Là je suis perdu pour chaque terme concernant la différentielle seconde. Pour le premier terme je vois bien que ça va faire intervenir $\frac{1}{4}g''\left(\frac{\nu_0}{2}\right)$ mais comment on note ce truc ?
$$
\D^2_{\nu_0,\Sigma_0}\ell = \frac{1}{4}g''\left(\frac{\nu_0}{2}\right) ??? + ? + ? +?
$$
Merci pour tout éclaircissement.

Saturne · November 2017

Personne inspiré jusqu'ici.

J'ai un exemple dans un livre. La différentielle première est, avec les notations du livre : $$
\textbf{d}f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1}).
$$ Avec mes notations (je préfère) : $$
\textbf{D}_{\Sigma_0}f = \text{tr}(\textbf{D}\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}),
$$ ce qui signifie : $$
\textbf{D}_{\Sigma_0}f(\Sigma) = \text{tr}(\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}).
$$ L'auteur écrit : $$
\textbf{d}^2f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\textbf{d}\Sigma^{-1})+ \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\textbf{d}\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1})
$$ Je ne comprends pas ce que ça veut dire. L'application $\textbf{d}^2f$ évaluée en un point (une matrice) devrait être une application linéaire à valeurs dans l'espace des applications linéaires. Quelle est cette application linéaire donnée par cette notation ?

Saturne · December 2017

$\textbf{d}^2f = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\textbf{d}\Sigma^{-1})+ \ldots = \text{tr}(\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}W\Sigma^{-1}\textbf{d}\Sigma\Sigma^{-1}) + \ldots $

Bon, j'ai vérifié que cela veut dire que l'application quadratique correspondant à $\textbf{d}^2f$ en $\Sigma_0$ est
$$
\Sigma \mapsto \text{tr}(\Sigma\Sigma_0^{-1}W\Sigma_0^{-1}\Sigma\Sigma_0^{-1}) + \ldots
$$
J'arrive à faire mes calculs malgré mon incompréhension, mais je ne comprends toujours pas à $100\%$ ce que je fais.

gebrane · December 2017

Bonjour
Dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1573862,1573926#msg-1573926 f c'est quoi au juste?

Saturne · December 2017

gebrane
Je ne sais plus, faut que je regarde dans le bouquin si ça t'intéresse. Mais je voulais juste donner un exemple du passage de $df$ à $d^2f$.

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

gebrane · December 2017

ça m’intéresse ce f

Saturne · December 2017

En fait je me souviens que c'est juste un seul terme d'un vrai $df$. J'irai chercher $f$ après.

math2 · December 2017

Sans connaître ton $f$, il n'est pas facile de te répondre car on ne voit guère quelles sont les variables et l'accroissement.

On s'y perd facilement dans une différentielle seconde ! Je te suggère, une fois que tu as calculé ton $df$, disons en tes variables $x=(\Sigma, \nu)$ (si j'ai bien vu) de l'écrire avec les "accroissements" $h=(h_\Sigma,h_\nu)$, disons $df(x).h=df(\Sigma,\nu). (h_\Sigma,h_\nu)$. Ton "accroissement" $(h_\Sigma,h_\nu)$ étant fixé, tu différencies désormais l'application $(\Sigma,\nu) \mapsto df(\Sigma,\nu). (h_\Sigma,h_\nu)$. Appelant $k=(k_\Sigma,k_\nu)$ ton nouvel accroissement, tu vas obtenir un terme qui dépend de $x$, $h$ et $k$. Le terme est bilinéaire (et symétrique) en $(h,k)$. La différentielle seconde (modulo un isomorphisme canonique) est cette application qui à $(h,k)$ associe ce que tu as trouvé.

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