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x = tan(x)

Envoyé par MarcAndréM 
x = tan(x)
la semaine dernière
Bonjour à tous
Je dois résoudre, en utilisant le théorème du point fixe : $x = \tan(x)$ dans $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$.

J'ai essayé de majorer par l'inégalité des accroissements finis : $|\tan(x)-\tan(y)| \le\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[} |\frac{d}{dx}\tan(x)|\cdot |x-y|$.
Mais $\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[}| \frac{d}{dx}\tan(x)|$ tend vers $+\infty$ ...?

Il faut de plus que $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$ soit fermé, ce qui n'est pas le cas ici.
Merci de votre aide ! winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par AD.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
Bonsoir !
Que veut dire "résoudre" ?
Démontrer l'existence ou calculer une valeur approchée ?

Tu commences par remarquer que ta racine existe et tu choisis un segment (intervalle fermé) centré sur la racine et strictement inclus dans l'intervalle donné.
Le théorème du point fixe s'appliquera alors à la restriction au segment choisi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par rakam.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
J'ai bien compris ta réponse pour l'intervalle, merci.

Oui pardon, nous devons donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-3}$ près.



Edité 1 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par MarcAndréM.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
$~~~~~~$ Si tu laisses les choses en l'état, tu n'arriveras jamais à appliquer le théorème du point fixe car la fonction $x \mapsto \tan x$ est bigrement non contractante ! Moralité : remplace ton équation par une équation équivalente $g(x)=x$ avec $g$ contractante..



Edité 1 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par Chaurien.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
avatar
@Chaurien

Penses-tu à l’arc tangente ?

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
D'ailleurs, c'est un pb "amusant" de "caractériser" l'ensemble des $a$ admissibles pour que la suite soit bien définie :
$$u_{0}=a \in \mathbb{R} \mbox{ et } \forall n \in \mathbb{N},\mbox{ } u_{n+1}=\tan(u_{n}).$$
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
@ Gebrane
Eh oui, mon bon ! La dérivée de la tangente a le gros défaut d'être $>1$. La dérivée de la réciproque est son inverse, elle aura la grande qualité d'être dans $]0,1[$.
Sur un dessin ça se voit bien.



Edité 2 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par Chaurien.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
avatar
@Bobbyjoe

Je suis pour le moment impuissant devant ta question .

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
Il n'est pas nécessaire d'aller voir ci ou ça. Le dessin montre bien que le point fixe de la fonction $\tan$ sur l'intervalle considéré est répulsif, et qu'aucune valeur initiale ne permettra à une suite $u_{n+1}= \tan u_n$ de converger vers ce point fixe qui est la solution de l'équation proposée. Si ce n'est bien sûr cette solution elle-même, mais justement on la cherche, on ne la connaît pas. Il n'y a pas que le dessin, il y a la dérivée.
Mais du coup la fonction réciproque convient parfaitement. Il n'est que de rédiger, sans aller chercher midi à quatorze heures.



Edité 1 fois. La dernière correction date de la semaine dernière et a été effectuée par Chaurien.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
avatar
@Math Coss

Je ne vois pas comment utiliser ton lien pour répondre à la question non amusante de Bobbyjoé.

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
C'est l'objet de la première partie. Dans notre cas très précis, on note $I_1=\R\setminus\{\pi/2+k\pi,\ k\in\Z\}$, c'est l'ensemble de définition de la fonction tangente. On définit par récurrence, pour $p\in\N^*$, $I_{p+1}=f^{-1}(I_p)$ où $f:I\to\R$ est la fonction tangente.

Étant donné $u_1\in I$, on peut définir $u_2=f(u_1)$. Si $u_2\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_2$, on peut définir $u_3=f(u_2)$. Si de plus, $u_3\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_3$, on peut définir $u_4=f(u_3)$, et ainsi de suite. Pour répondre à BobbyJoe, il faut donc déterminer $A=\bigcap_{p\ge1}I_p$.
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
avatar
Dans le lien, on se fixe des le départ un intervalle I où f est continue. Ici on a pas un choix unique de I . Remarque que ton choix de $I_1$ pose un problème puisque ce n'est pas un intervalle.

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
Come on! Il suffit de remplacer "intervalle" par "ensemble"... Dans l'épreuve, $I_2$ n'est déjà plus un intervalle en général, alors quelle importance ?
Re: x = tan(x)
la semaine dernière
avatar
Je suis un peu prudent. Mais je bloque déjà sur la preuve de $I_{p+1}\subset I_{p}$ Comment démontres-tu que $I_{2}\subset I_{1}$ quelque chose m’échappe ! quand on dit que f est définie sur $I$ ça veut dire que $D_f=I$ ou bien $I\subset D_f$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
Je reviens à la question initiale.
Pour $p \in \mathbb N$ l'équation $\tan x=x$ a une seule solution $\xi _{p}$ dans l'intervalle $I_p= ] p \pi- \frac {\pi}{2}, p \pi + \frac {\pi}{2}[$. Pas très difficile à démontrer.
L'équation $\tan x=x$ avec la condition $x \in I_p$ équivaut à : $x= p \pi + \arctan x$.
Pour $p=0$, la solution est bien sûr $\xi _{0}=0$, n'en parlons plus.
Pour $p \in \mathbb N^*$, soit $ f_p (x)= p \pi + \arctan x$, d'où $f'_p(x)=\frac {1}{1+x^2}$. Fonction le plus souvent contractante avec un souci en $0$. On définit une suite réelle $u_n$ avec $u_0$ réel quelconque et $u_{n+1}=f_p(u_n)$. Alors $u_n \geq \frac {\pi}{2}$ pour $ n \geq 1$. La fonction $f_p$ est contractante sur $[\frac {\pi}{2}, + \infty[$, d'où la convergence de la suite $u_n$ vers $\xi _{p}$, et même assez rapide je pense.

Bonne journée. Déjà décembre, décembrrrrr...
Fr. Ch.
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
@Gebrane :

Comme $I_1 \subset \mathbb{R}$,

$I_2 = f^{-1}(I_1) \subset f^{-1}(\mathbb{R}) = I_1$

Et plus généralement, comme $I_n \subset I_{n-1}$,

$I_{n+1} = f^{-1}(I_n) \subset f^{-1}(I_{n-1}) = I_n$
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
avatar
@Tryss
C'est un problème de definition. Quand je lis: soit f définie sur $I$ je comprends que $D_f \supset I$ et donc $f^{-1}(I_1)\subset D_f$. Dans le pdf, il fallait lire que f definie sur I que $D_f=I$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize jours et a été effectuée par gebrane.
JJ
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
avatar
Bonjour,

pour information, d'après "Un atlas of Functions", J.Spanier, B.Oldham, IBSN 0-89116-573-8, Springer-Verlag,1987, p.325

Une approximation de la nième racine de $\tan(x)=x$ par la formule ci-dessous.

Dans le cas présent, n=3.
L'approximation, à beaucoup mieux que $0,001$ près, ne nécessite que les deux premiers termes de la série, soit
$x\simeq (3+\frac12 \pi)- (3+\frac12 \pi)^{-1} \simeq 10,904127...$
A comparer avec la valeur approchée par calcul numérique $10,904121659...$


Re: x = tan(x)
il y a treize jours
@gebrane: En effet, $f$ est définie sur $I$ et nulle part ailleurs. Par définition, $I_2=f^{-1}(I_1)$ est (donc) l'ensemble des éléments de $I_1$ dont l'image est dans $I_1$, de sorte que $I_2\subset I_1$. D'où l'inclusion $I_{p+1}\subset I_p$ par une récurrence immédiate dont voici l'hérédité : $f^{-1}(I_{p})\subset f^{-1}(I_{p-1})$ (si $p-1\ge1$).
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
avatar
@Math Coss
désolé je ne vois nulle part mentionné dans le pdf que f est nulle en dehors de $I$.
Je répète la seul point d'ombre est comment voir que $I_2\subset I_1$ ?

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
En effet, $f$ n'est pas nulle hors de $I$, elle n'est pas définie hors de $I$ ("nulle part" = "nowhere").

Le fait que $I_2\subset I_1$ est littéralement trivial : $I_2$ est l'ensemble des points de $I_1$ tels que...

(Autrement dit $I_2$ est le plus gros ensemble sur lequel on peut définir $f\circ f$. Pour pouvoir calculer $f(f(x))$, il faut commencer par calculer $f(x)$.)
Re: x = tan(x)
il y a treize jours
avatar
Ok; tu as compris la phrase f définie sur $I$ dans le sens que son domaine de definition est exactement $I$.

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: x = tan(x)
il y a onze jours
Merci pour toutes vos réponses, certaines plus difficiles que d'autres smiling smiley

J'ai finalement "centrer" l'intervalle en 0, puis appliqué de chaque côtés la fonction $arctan$.

Merci à tous et à bientôt ! grinning smiley
Re: x = tan(x)
il y a onze jours
J'ai fini, j'ai centré...
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