x = tan(x)

Bonsoir !
Que veut dire "résoudre" ?
Démontrer l'existence ou calculer une valeur approchée ?

Tu commences par remarquer que ta racine existe et tu choisis un segment (intervalle fermé) centré sur la racine et strictement inclus dans l'intervalle donné.
Le théorème du point fixe s'appliquera alors à la restriction au segment choisi.

$~~~~~~$ Si tu laisses les choses en l'état, tu n'arriveras jamais à appliquer le théorème du point fixe car la fonction $x \mapsto \tan x$ est bigrement non contractante ! Moralité : remplace ton équation par une équation équivalente $g(x)=x$ avec $g$ contractante..

D'ailleurs, c'est un pb "amusant" de "caractériser" l'ensemble des $a$ admissibles pour que la suite soit bien définie :
$$u_{0}=a \in \mathbb{R} \mbox{ et } \forall n \in \mathbb{N},\mbox{ } u_{n+1}=\tan(u_{n}).$$

@Bobbyjoe

Je suis pour le moment impuissant devant ta question .

Il n'est pas nécessaire d'aller voir ci ou ça. Le dessin montre bien que le point fixe de la fonction $\tan$ sur l'intervalle considéré est répulsif, et qu'aucune valeur initiale ne permettra à une suite $u_{n+1}= \tan u_n$ de converger vers ce point fixe qui est la solution de l'équation proposée. Si ce n'est bien sûr cette solution elle-même, mais justement on la cherche, on ne la connaît pas. Il n'y a pas que le dessin, il y a la dérivée.
Mais du coup la fonction réciproque convient parfaitement. Il n'est que de rédiger, sans aller chercher midi à quatorze heures.

C'est l'objet de la première partie. Dans notre cas très précis, on note $I_1=\R\setminus\{\pi/2+k\pi,\ k\in\Z\}$, c'est l'ensemble de définition de la fonction tangente. On définit par récurrence, pour $p\in\N^*$, $I_{p+1}=f^{-1}(I_p)$ où $f:I\to\R$ est la fonction tangente.

Étant donné $u_1\in I$, on peut définir $u_2=f(u_1)$. Si $u_2\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_2$, on peut définir $u_3=f(u_2)$. Si de plus, $u_3\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_3$, on peut définir $u_4=f(u_3)$, et ainsi de suite. Pour répondre à BobbyJoe, il faut donc déterminer $A=\bigcap_{p\ge1}I_p$.

Come on! Il suffit de remplacer "intervalle" par "ensemble"... Dans l'épreuve, $I_2$ n'est déjà plus un intervalle en général, alors quelle importance ?

Je reviens à la question initiale.
Pour $p \in \mathbb N$ l'équation $\tan x=x$ a une seule solution $\xi _{p}$ dans l'intervalle $I_p= ] p \pi- \frac {\pi}{2}, p \pi + \frac {\pi}{2}[$. Pas très difficile à démontrer.
L'équation $\tan x=x$ avec la condition $x \in I_p$ équivaut à : $x= p \pi + \arctan x$.
Pour $p=0$, la solution est bien sûr $\xi _{0}=0$, n'en parlons plus.
Pour $p \in \mathbb N^*$, soit $ f_p (x)= p \pi + \arctan x$, d'où $f'_p(x)=\frac {1}{1+x^2}$. Fonction le plus souvent contractante avec un souci en $0$. On définit une suite réelle $u_n$ avec $u_0$ réel quelconque et $u_{n+1}=f_p(u_n)$. Alors $u_n \geq \frac {\pi}{2}$ pour $ n \geq 1$. La fonction $f_p$ est contractante sur $[\frac {\pi}{2}, + \infty[$, d'où la convergence de la suite $u_n$ vers $\xi _{p}$, et même assez rapide je pense.

Bonne journée. Déjà décembre, décembrrrrr...
Fr. Ch.

@Tryss
C'est un problème de definition. Quand je lis: soit f définie sur $I$ je comprends que $D_f \supset I$ et donc $f^{-1}(I_1)\subset D_f$. Dans le pdf, il fallait lire que f definie sur I que $D_f=I$

@gebrane: En effet, $f$ est définie sur $I$ et nulle part ailleurs. Par définition, $I_2=f^{-1}(I_1)$ est (donc) l'ensemble des éléments de $I_1$ dont l'image est dans $I_1$, de sorte que $I_2\subset I_1$. D'où l'inclusion $I_{p+1}\subset I_p$ par une récurrence immédiate dont voici l'hérédité : $f^{-1}(I_{p})\subset f^{-1}(I_{p-1})$ (si $p-1\ge1$).

En effet, $f$ n'est pas nulle hors de $I$, elle n'est pas définie hors de $I$ ("nulle part" = "nowhere").

Le fait que $I_2\subset I_1$ est littéralement trivial : $I_2$ est l'ensemble des points de $I_1$ tels que...

(Autrement dit $I_2$ est le plus gros ensemble sur lequel on peut définir $f\circ f$. Pour pouvoir calculer $f(f(x))$, il faut commencer par calculer $f(x)$.)