x = tan(x)
dans Analyse
Bonjour à tous
Je dois résoudre, en utilisant le théorème du point fixe : $x = \tan(x)$ dans $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$.
J'ai essayé de majorer par l'inégalité des accroissements finis : $|\tan(x)-\tan(y)| \le\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[} |\frac{d}{dx}\tan(x)|\cdot |x-y|$.
Mais $\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[}| \frac{d}{dx}\tan(x)|$ tend vers $+\infty$ ...?
Il faut de plus que $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$ soit fermé, ce qui n'est pas le cas ici.
Merci de votre aide ! ;-)
Je dois résoudre, en utilisant le théorème du point fixe : $x = \tan(x)$ dans $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$.
J'ai essayé de majorer par l'inégalité des accroissements finis : $|\tan(x)-\tan(y)| \le\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[} |\frac{d}{dx}\tan(x)|\cdot |x-y|$.
Mais $\sup\limits_{]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[}| \frac{d}{dx}\tan(x)|$ tend vers $+\infty$ ...?
Il faut de plus que $]\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}[$ soit fermé, ce qui n'est pas le cas ici.
Merci de votre aide ! ;-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Que veut dire "résoudre" ?
Démontrer l'existence ou calculer une valeur approchée ?
Tu commences par remarquer que ta racine existe et tu choisis un segment (intervalle fermé) centré sur la racine et strictement inclus dans l'intervalle donné.
Le théorème du point fixe s'appliquera alors à la restriction au segment choisi.
Oui pardon, nous devons donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-3}$ près.
Penses-tu à l’arc tangente ?
$$u_{0}=a \in \mathbb{R} \mbox{ et } \forall n \in \mathbb{N},\mbox{ } u_{n+1}=\tan(u_{n}).$$
Eh oui, mon bon ! La dérivée de la tangente a le gros défaut d'être $>1$. La dérivée de la réciproque est son inverse, elle aura la grande qualité d'être dans $]0,1[$.
Sur un dessin ça se voit bien.
Je suis pour le moment impuissant devant ta question .
Mais du coup la fonction réciproque convient parfaitement. Il n'est que de rédiger, sans aller chercher midi à quatorze heures.
Je ne vois pas comment utiliser ton lien pour répondre à la question non amusante de Bobbyjoé.
Étant donné $u_1\in I$, on peut définir $u_2=f(u_1)$. Si $u_2\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_2$, on peut définir $u_3=f(u_2)$. Si de plus, $u_3\in I$, c'est-à-dire si $u_1\in I_3$, on peut définir $u_4=f(u_3)$, et ainsi de suite. Pour répondre à BobbyJoe, il faut donc déterminer $A=\bigcap_{p\ge1}I_p$.
Pour $p \in \mathbb N$ l'équation $\tan x=x$ a une seule solution $\xi _{p}$ dans l'intervalle $I_p= ] p \pi- \frac {\pi}{2}, p \pi + \frac {\pi}{2}[$. Pas très difficile à démontrer.
L'équation $\tan x=x$ avec la condition $x \in I_p$ équivaut à : $x= p \pi + \arctan x$.
Pour $p=0$, la solution est bien sûr $\xi _{0}=0$, n'en parlons plus.
Pour $p \in \mathbb N^*$, soit $ f_p (x)= p \pi + \arctan x$, d'où $f'_p(x)=\frac {1}{1+x^2}$. Fonction le plus souvent contractante avec un souci en $0$. On définit une suite réelle $u_n$ avec $u_0$ réel quelconque et $u_{n+1}=f_p(u_n)$. Alors $u_n \geq \frac {\pi}{2}$ pour $ n \geq 1$. La fonction $f_p$ est contractante sur $[\frac {\pi}{2}, + \infty[$, d'où la convergence de la suite $u_n$ vers $\xi _{p}$, et même assez rapide je pense.
Bonne journée. Déjà décembre, décembrrrrr...
Fr. Ch.
Comme $I_1 \subset \mathbb{R}$,
$I_2 = f^{-1}(I_1) \subset f^{-1}(\mathbb{R}) = I_1$
Et plus généralement, comme $I_n \subset I_{n-1}$,
$I_{n+1} = f^{-1}(I_n) \subset f^{-1}(I_{n-1}) = I_n$
C'est un problème de definition. Quand je lis: soit f définie sur $I$ je comprends que $D_f \supset I$ et donc $f^{-1}(I_1)\subset D_f$. Dans le pdf, il fallait lire que f definie sur I que $D_f=I$
pour information, d'après "Un atlas of Functions", J.Spanier, B.Oldham, IBSN 0-89116-573-8, Springer-Verlag,1987, p.325
Une approximation de la nième racine de $\tan(x)=x$ par la formule ci-dessous.
Dans le cas présent, n=3.
L'approximation, à beaucoup mieux que $0,001$ près, ne nécessite que les deux premiers termes de la série, soit
$x\simeq (3+\frac12 \pi)- (3+\frac12 \pi)^{-1} \simeq 10,904127...$
A comparer avec la valeur approchée par calcul numérique $10,904121659...$
désolé je ne vois nulle part mentionné dans le pdf que f est nulle en dehors de $I$.
Je répète la seul point d'ombre est comment voir que $I_2\subset I_1$ ?
Le fait que $I_2\subset I_1$ est littéralement trivial : $I_2$ est l'ensemble des points de $I_1$ tels que...
(Autrement dit $I_2$ est le plus gros ensemble sur lequel on peut définir $f\circ f$. Pour pouvoir calculer $f(f(x))$, il faut commencer par calculer $f(x)$.)
J'ai finalement "centrer" l'intervalle en 0, puis appliqué de chaque côtés la fonction $arctan$.
Merci à tous et à bientôt ! :-D