Intégrale à paramètre vectoriel

Dionysos · December 2017

Bonjour

Etant donné $E$ un evn, $A$ une partie non bornée de $E$ et $D$ une droite engendrée par $v$, on peut considérer
$$x\in A\mapsto F(x) = \int_\R \frac{dt}{\|tv - x\|^2}$$
Il ne me semble pas déraisonnable de penser que si la distance de $x$ à $D$ tend vers $+\infty$ quand $\|x\| \to +\infty$ (pour $x\in A$) alors $F(x) \to 0$ quand $\|x\| \to +\infty$; mais je n'arrive pas à dominer l'intégrande sous cette seule hypothèse...

Peut être y a-t-il une condition supplémentaire à imposer pour que ce soit vrai?

gerard0 · December 2017

Bonjour.

Sauf erreur de ma part, tout se passe dans le plan de vecteurs directeurs $x$ et $u$. Donc on peut se ramener à $\mathbb R^2$ et à une intégrale classique.

Cordialement.

Dionysos · December 2017

$x$ varie dans $A$, qui est une partie quelconque de $E$... ceci dit, en dimension finie, on doit effectivement s'en sortir par un changement de variable.

gerard0 · December 2017

Heu ... je ne parlais pas de la limite, mais seulement de l'intégrale.

Phare · December 2017

@Dionysos

tiens-tu vraiment a ce degré de généralité dans ton énoncé?
Je penses qu'on peut surement s'en sortir si la norme provient d'un produit scalaire mais dans un cadre plus général.....

En dimension infinie des phénomènes bizarres peuvent apparaître: on peut avoir une suite qui converge vers une limite différente selon la norme choisie,

Edit: je confirme dès que la norme provient d'un produit scalaire ça marche.

Phare · December 2017

Je ne penses pas que $\|x\| \to +\infty$ soit toujours la même chose que d(x,D)$ \to +\infty$.
Je me trompe peut-être.

Dionysos · December 2017

Bonjour,

Effectivement, dans le cas où $E$ est préhilbertien, l'intégrale se calcule explicitement, et l'on a bien le résultat annoncé (effectivement, $\|x\| \to +\infty$ n'est pas la même chose que $d_A(x) \to +\infty$ quand $\|x\| \to +\infty$ (je ne suis pas certain d'ailleurs de comprendre le sens de cette phrase), mais l'hypothèse minmale à faire est bien $d_A(x) \to +\infty$ quand $\|x\| \to +\infty$ (s'en convaincre avec $D$= axe des abscisses, et $A=$ droite $x=1$).

Le cas $E$ evn qcq n'est pas clair par contre; peut être dans le cas séparable, en écrivant que $E$ est union croissante de ss-ev de dim finie $E_n$, en montrant d'abord que $d_A(x)$ est l'inf des $d_{A\cap E_n}(x)$ (inf pris sur les entiers $n$)?

Phare · December 2017

@Dionysos
Je suis curieux, comment fais-tu même pour prouver l'existence (c.a.d la finitude) de l'intégrale dans le cas d'un evn quelconque ?

gb · December 2017

Bonjour,

Je pense que :
\[\Vert tv-x \rVert^2 = t^2 \left\lVert v - \frac1t x\right\rVert^2 \mathop{\sim}\limits_{t\to\infty} t^2\Vert v \rVert^2\]
doit permettre de conclure.

Phare · December 2017

@gb
Oui tout simplement.
Merci.

Dionysos · December 2017

Bonsoir

et merci à gb pour sa réponse.

Pour le comportement asymptotique, l'hyp de domination est coriace (?); par ex, on a envie de dire que
$$ \frac{1}{\|tv - x\|^2} = \frac{1}{t^2\|v - x/t\|^2} \leq \frac{cste}{t^2}$$

mais pour cela, il faudrait que la distance de $v$ à la réunion des $\frac{1}{t}A$ (quand $t$ varie dans $\R_+^*$) soit $>0$.... et l'hyp que j'ai faite ne me semble pas l'impliquer..

Intégrale à paramètre vectoriel

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