équation différentielle

erwan5032
erwan5032
dans Analyse
Bonjour, j'ai l'équation différentielle: pout tout x appartenant à ]-1;1[
y'-1/sqrt(abs(x^2-1))y=0
Puis je enlever les valeur absolue et quelle est la primitive svp ?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il y a manifestement un problème si x²-1 est nul. Donc tu vas résoudre cette équation sur un intervalle où x²-1 ne s'annule pas.
    Ensuite, que se passe-t-il si x²-1<0 ? Peux-tu te passer de la valeur absolue ?

    Bon travail !

    NB : je ne résous pas l'équation, c'est ton exercice, c'est à toi d'appliquer les méthodes de ton cours.
  • erwan5032
    erwan5032
    on a alors devient 1-x^2 donc une primitive qui est arccos(x)...
  • erwan5032
    erwan5032
    comme solution homogène je trouve alpha*exp(-arccos(x))
    mais j'ai aussi alpha*exp(arcsin(x))
  • gerard0
    gerard0
    $x\mapsto \exp(\arcsin(x))$ et $x\mapsto \exp(-\arccos(x))$ sont proportionnelles, donc c'est le même ensemble de solutions.

    Cordialement
  • erwan5032
    erwan5032
    d'accord merci
    et si on a
    y'-1/sqrt(abs(x^2-1))y=cos(x)exp(x+(ln(x+sqrt(x^2-1))))
    serait-il judicieux d'utiliser la méthode de la variation de la constante pour détermine la solution particulière parce que je tombe sur une expression assez compliqué à intégrée ?
    Merci de votre aide
  • math2
    math2
    Fondamentalement la MVC c'est exactement la même chose que la formule "standart" ou avec "le facteur intégrant" (comme diraient les physiciens). Donc tu tomberas à la fin plus ou moins sur la même primitive à calculer. C'est vrai que ta primitive à calculer a l'air coton (pas trop le temps de la chercher, j'ai juste répondu à ta question) ...
  • gerard0
    gerard0
    Je suis assez stupéfait de voir quelqu'un vouloir résoudre des équations différentielles compliquées alors qu'il n'est pas capable de voir comment se simplifie |x²-1| sur ]-1,1[.

    Quant à cette équation différentielle, il y a sans doute plus compliqué pour le second membre, mais c'est déjà très compliqué, même si on peut simplifier l'exponentielle. Le second membre impose des conditions à x qui font que |x²-1| se simplifie et qu'on n'est plus sur ]-1,1[. Donc la résolution faite précédemment ne sert pas, il faut reprendre la résolution de l'équation sans second membre.

    Erwan5032, d'où sors-tu ça ? Si c'est un exercice, quel est l'énoncé ?
  • erwan5032
    erwan5032
    Le n'avais clairement pas fait attention à la valeur absolue ce n'est pas un crime que je sache.
    L'équation est sur ]1,+infini[.
  • erwan5032
    erwan5032
    peut être que la primitive de cos(x)exp(x) pourrait m'aider
  • gerard0
    gerard0
    Elle est classique !

    Soit par double intégration par parties, soit en dérivant (sin(x)+cos(x))exp(x).

    Tu as trouvé quoi pour la solution de l'équation homogène (sans second membre) ? Car les solutions que tu as citées précédemment ne conviennent pas, évidemment.
    Et tu fais quoi ensuite ?
  • Styxx
    Styxx
    Tu peux aussi écrire que cos(x)exp(x) est la partie réelle de exp(x(1+i)), calculer une primitive de cette fonction puis en prendre la partie réelle.
  • erwan5032
    erwan5032
    j'ai déjà trouvé la primitive mais comment peut elle me servir pour détermine une solution particulière ?
    pour l'équation homogène je trouve alpha*exp(-arccos(x))
  • gerard0
    gerard0
    Ta fonction n'est pas définie pour x>1
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    gerard0 a écrit:
    Soit par double intégration par parties, soit en dérivant (sin(x)+cos(x))exp(x).

    À la deuxième méthode (qui fait lapin sorti d’un chapeau), je préfère la version où on dérive (a cos(x) + b sin(x))exp(x) pour identifier.
    Et sinon, en prenant la partie réelle d’une primitive de exp((1+i)x).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement,

    c'est un peu prestidigitation, mais il y a de bonnes raisons d'essayer ça (je n'ai pas tout expliqué).

    Cordialement.
  • erwan5032
    erwan5032
    je dois forcément utiliser la primitive de cos(x)exp(x)
    mais je trouve cos(x)exp(x)(x+racine(x^2-1))
    mais en utilisant la méthode de la variation de la constante ca donne un truc pas très beau
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu as dû te tromper.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • erwan5032
    erwan5032
    pourtant j'ai refait les calculs
  • erwan5032
    erwan5032
    je pourrais peut être développer et utiliser le principe de superposition des solutions ...
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu parles de exp(-arccos(x)) ou de cos(x)exp(x) ?
    Pour le principe de superposition, inutile, le second membre est nul.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • erwan5032
    erwan5032
    comme solution de l'équation homogène j'ai trouvé exp(-arccos(x))
    et peut etre que la primitive de cos(x)exp(x) pourrait m'aider pour trouver la solution particulière...
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Haaaa OK.
    Essaie plutôt un changement de variables.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • erwan5032
    erwan5032
    mais comment un changement de variable pourrait aider pour trouver la solution particulière ?
  • gerard0
    gerard0
    "comme solution de l'équation homogène j'ai trouvé exp(-arccos(x))"

    Je t'ai déjà dit que ce n'est pas correct, cette fonction n'est pas définie sur l'intervalle d'étude ]1,+oo[
  • erwan5032
    erwan5032
    je pourrais peut être utiliser exp(arcsin(x))
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