Suite u_{n+1} = 1 + u_n/(n+1)

Il suffit de multiplier par $(n+1)!$ ce qui donne $(n+1)!u_{n+1}-n!u_n=(n+1)!$ puis faire la somme

et donc la limite de $u_n$ est ?

Si l'on ne sait pas que $\displaystyle \sum_{k=0}^n k! \sim n!$, on le prouve par un encadrement très simple.
Soit $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n!}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}k!=\frac{1}{n!}\big(0!+1!+\cdots+(n-1)!+n!\big).\ $ Alors
\begin{align*}
0<u_{n}-1&=\frac{1}{n!}\big(0!+1!+\cdots+(n-2)!+(n-1)!\big) \\
&=\frac{1}{n!}\big(0!+1!+\cdots+(n-2)!\big)+\frac{(n-1)!}{n!}\\
&\leq \frac{(n-1)(n-2)!}{n!}+\frac{1}{n}=\frac{2}{n}.
\end{align*}
Mustapha a prouvé que cette suite $u_n$ est bien celle de l'énoncé initial, définie par : $u_{n+1} = 1 + \dfrac{u_n}{n+1}$, $u_0=1$.
On peut démontrer que cette suite est décroissante pour $n \geq 2$, ce qui prouve qu'elle est convergente, et alors sa limite est nécessairement $1$.
C'est une autre démonstration.
En creusant un peu, on voit que : $\displaystyle u_{n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+o\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)$ quand $n \rightarrow + \infty$ (sauf faute de calcul).
Bonne nuit.
Fr. Ch.

L'assertion : $u_n = o(u_{n+1})$ signifie : $ u_n - u_{n-1} \sim u_n$
Puis sommation de la relation de comparaison.

Sans doute parce que je n'y avais pas pensé ;-)

@Chaurien
Il faut quand même des conditions pour sommer les relations de comparaison, non?