La méthode de Faedo-Galekin

Bonjour tous le monde.
Je voudrais prouver l'existence du système suivant : $$\eqalign{
& {u_{tt}}-{u_{ttxx}}+{u_{xxxx}}-{({u_x}({v_x} + \tfrac{1}{2}u_x^2))_x}=0 \cr
& {v_{tt}}- {({v_x} + \tfrac{1}{2}u_x^2)_x} =0 \cr
& u(t,0) = u(t,1) = 0={u_x}(t,0) = {u_x}(t,1) = 0 \cr
& {v_x}(t,0) = {v_x}(t,1) = 0 \cr
& u(0,x) = {u_0},{u_t}(0,x) = {u_1} \cr
& v(0,x) = {v_0},{v_t}(0,x) = {v_1} }
$$ L’énergie associée à ce système est définie par $$
E(t) = {\left\| {{u_t}} \right\|^2}+{\left\| {{u_{tx}}} \right\|^2} + {\left\| {{u_{xx}}} \right\|^2} + {\left\| {{v_t}} \right\|^2} + {\left\| {{v_x} + \tfrac{1}{2}u_x^2} \right\|^2}
$$ et elle vérifie $$E'(t) = 0 \, ,$$ donc, le système est conservatif.
Comme d’habitude, on procède par approximation puis le passage à la limite.

Considérons les espaces $$\eqalign{
& H_0^2(0,1) = \{ u \in {H^2}(0,1)\mid u(0) = u(1) = {u_x}(0) = {u_x}(1)\} \cr
& V = \{ v \in {H^1}(0,1)\mid{v_x}(0) = {v_x}(1),\ \int_0^1 {v = 0} \} }
$$ on définit les suites $u^m$ et $v^m$ par $$\eqalign{
& {u^m} = \sum\limits_{i = 1}^m {a_i^m(t){e_i}(x)} \cr
& {v^m} = \sum\limits_{i = 1}^m {b_i^m(t){\sigma _i}(x)} \cr}
$$ avec $e_i$ et $\sigma_i$ sont deux bases pour les deux espaces au dessus.
Alors, on doit résoudre le problème variationnel : $$\eqalign{
& \left( {u_{tt}^m,{e_i}} \right)+\left( {u_{ttx}^m,{e_{xi}}} \right) + \left( {u_{xx}^m,{e_{ixx}}} \right) + \left( {u_x^m(v_x^m + \tfrac{1}{2}{{\left( {u_x^m} \right)}^2},{e_{ix}}} \right) = 0 \cr
& \left( {v_{tt}^m,{\sigma _i}} \right) + \left( {v_x^m + \tfrac{1}{2}{{\left( {u_x^m} \right)}^2},{\sigma _{ix}}} \right) = 0 }
$$ J'ai trouvé que $$
{\left\| {{u^m_x}} \right\|^2} + {\left\| {{u^m_{tx}}} \right\|^2} + {\left\| {{u^m_t}} \right\|^2} + {\left\| {{u^m_{tt}}} \right\|^2} < C
$$ where où $C$ is positive constant est une constante positive.
Après un peu de calcul, j'avais montré ces estimations a priori! \begin{equation}
\left(u^{m},u_{t}^{m}\text{ },u_{tt}^{m}\text{ }\right) \text{
are bounded in }L^{2}(0,T;\left( H_{0}^{2}(0,L)\right) ^{2}\times
\left(H_{0}^{1}(0,L)\right)),
\end{equation} \begin{equation}
\left( v^{m},v_{t}^{m}\text{ },v_{tt}^{m}\text{ }\right) \text{
are bounded in }L^{2}(0,T;\ V ^{2}\times
L^{2}(0,L)),
\end{equation} Pour la suite $u^m$ je n'ai aucun problème, mais pour $v^m$ Je ne sais pas si mon choix d'espace est correct ou non, ou même si l'espace $ V $ est dense en $ H ^ 1 $. J'ai besoin d'aide s'il vous plaît.