Bonjour,
Si j'ai deux normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ définies sur des fonctions, telles que
$\|f/g\|_1\ge \alpha \|f/g\|_2$ pour toutes fonctions $f,g$, $g\neq 0$, $\alpha$ est constante. Que peut on dire de ces normes et que peut on dire de $\|f\|_1$ et $\|f\|_2$?
Réponses
tu ne dis pas quelles sont ces fonctions. Si ce sont des fonctions d'ensemble d'arrivée $\mathbb R$ou $\mathbb C$ (puisque tu divises, on peut le penser), prends g constante égale à 1.
Cordialement.
Dans la suite, je comprends que tu l'appliques à toute fonction $g$ ne s'annulant jamais.
On a bien entendu que $\|.\|_1 \geq \alpha \|.\|_2$ en prenant identiquement $g=1$, et réciproquement cette inégalité donne ta relation en l'appliquant ) $f/g$.
Mais tu pensais sans doute au quotient des normes, non ?
ce n'est pas sérieux de rajouter maintenant que g ne peut pas prendre la valeur (constante) 1. Non seulement tu ne donnes pas un énoncé sérieux (tu n'as pas dit qui sont f et g), mais tu rajoutes des hypothèses ad hoc.
Il y a encore plein d'autres façons de faire, mais je ne vais pas te donner l'occasion de rajouter des interdictions ad hoc, donc je garde pour moi tant que tu n'as pas donné un énoncé complet et définitif.
Tu as raison. Quand j’écrivais la première fois, je n'y ai pas vraiment pensé. Désolé.
Oublions le tout si c'est pas trop tard. Je m'excuse.