Inégalité triangulaire

mpsi_quatre · December 2017

Bonjour

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes. J'essaie de montrer que sont équivalents les deux énoncés :
1) $|z+z'|=|z|+|z'|$
2) $z=0$ ou $\exists\lambda\in\mathbb R_{+}, z'=\lambda z$

Déjà pour le cas 2) implique 1) je bloque :
Si $z=0$ alors c'est évident. Mais si $\exists\lambda\in\mathbb R, z'=\lambda z$ alors $|z+z'|=|\lambda+1||z|$ et $|z|+|z'|=(1+|\lambda|)|z|$ et je ne vois pas pourquoi ces deux expressions sont égales.

Edit : $\lambda$ est positif

tenuki · December 2017

C'est normal : le résultat est faux (prendre $z=1$ et $z'=-1$ par exemple). Tu devrais plutôt essayer de montrer l'équivalence entre ta première assertion et $z=0$ ou $\exists \lambda\in \mathbb{R}_+, z'=\lambda z$.

moduloP · December 2017

$\mid z-z \mid \neq \mid z \mid + \mid z \mid$

mpsi_quatre · December 2017

Oups, merci, en fait j'ai mal recopié mais c'était bien là mon erreur, je n'utilisais pas le fait que $\lambda$ est un réel positif. C'est donc bon pour cette implication.

Math Coss · December 2017

Pour l'autre implication, ce qui me vient à l'esprit, c'est de revenir à la preuve de l'inégalité triangulaire ($|z+z'|\le|z|+|z'|$) et de voir à quel moment on fait une « vraie » majoration (par exemple, si on commence par élever au carré, on ne fait que remplacer une inégalité par une autre, sans perte d'information).

mpsi_quatre · December 2017

Pour l'autre, on suppose que $|z+z'|=|z|+|z'|$ et $z\neq 0$. J'ai alors pensé écrire $|1+z'/z|=1+|z'/z|$ mais je ne sais pas comment avancer.

YvesM · December 2017

Bonjour,

Pour 1) implique 2) on élève au carré ; on résout $\cos x \cos y=1$ avec élégance et on conclut.

mpsi_quatre · December 2017

C'est bon j'ai trouvé :

1) implique $Re(z\overline{z'})=|z\overline{z'}|$
donc $z\overline{z'}\in\mathbb R_{+}$
donc $\overline{z}z'\in\mathbb R_{+}$
donc $\overline{z}z'/|\overline{z}|^2\in\mathbb R_{+}$ avec $|\overline{z}|^2=z\overline{z}\neq 0$ car $z\neq 0$
donc $z'/z\in\mathbb R_{+}$
donc $\exists\lambda\in\mathbb R_{+}, z'=\lambda z$
donc 2)

Math Coss · December 2017

Oui, c'est une façon élégante de présenter les choses (sans faire intervenir les parties réelle et imaginaire ni la trigonométrie).

Dans la preuve de l'inégalité, une façon de faire consiste à montrer l'équivalence avec l'inégalité $\mathrm{Re}\bigl(z\bar{z'}\bigr)\le\bigl|z\bar{z'}\bigr|$. Il s'agit donc de trouver le cas d'égalité de cette inégalité.

Inégalité triangulaire

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