différentielle seconde et intuition

Bonjour,

1) Y a-t-il une manière de percevoir/visualiser géométriquement ce que représente une différentielle seconde ?
Si on s'en tient à la définition https://fr.wikipedia.org/wiki/Différentielle#Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral c'est assez complexe !

La seule intuition que j'ai est la suivante : représentation (bijection bien choisie) par une forme quadratique et le développement de Taylor m'incite à penser qu'il s'agit de la meilleure représentation locale de $f$ par une forme quadratique. Par exemple pour une fonction $f:R \to R$ sa différentielle seconde en un point $a$ donnée sera la parabole qui approche le mieux $f$ au voisinage de $a$...

2) Comment trouver la hessienne donnée ici:
https://snag.gy/RyCNIj.jpg
Ici le calcul est fait de manière vectoriel et je pensais trouver le gradient du gradient pour retomber sur la hessienne mais je ne suis pas sûr (toujours des soucis sur le fait qu'il faille considérer la transposée, etc...)