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Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$

Envoyé par anthomedal 
Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Bonjour,
Question toute bête mais je me la suis posé pendant un exercice sur les intégrales de Lebesgue, je sais que la suite de terme général $(1+\frac{x}{n})^n$ converge vers $e^x$, mais dans mon exercice ils ont l'air de l'utiliser sachant que cette convergence est par valeur inférieur ! Dans mon esprit il suffit de montrer que la suite est croissante, ainsi, j'ai essayé la classique méthode du quotient et différence, mais ca ne se simplifie pas beaucoup. Quelqu'un connaît l'astuce ? Merci !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a onze jours et a été effectuée par Poirot.
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
avatar
Bonjour,

Écris $u_{n+1}/u_n$ et utilise $n<n+1$ pour minorer ou majorer par $1$... selon le signe de $x$...

Ou alors utilise l’inegalite de Bernoulli.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Dom
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
En effet, cette preuve qui n'utilise que "le collège" est pénible.
On y parvient pourtant...
Je me souviens, jadis, reprendre un corrigé pour y parvenir et me dire "ha oui d'accord".
Puis...recommencer le lendemain...

Cela m'évoque la pagaille dans les calculs pour trouver l'inégalité de Minkowski à partir de celle de Hölder.
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
avatar
Bonjour,

Au niveau L1 on montre l’inegalite de Bernoulli par étude de fonction : $(1+t)^a \geq 1+ a t$ pour $t$ et $a$ deux réels positifs.
On choisit $t=x/n$ et $a=n/(n+1)$ pour $n$ entier non nul et $x$ un réel positif.

Le rapport de deux termes consécutifs de la suite est alors ... et on conclut sur la monotonie.
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
Dom tu veux dire que y a pas d'astuce ? J'ai par exemple écrit que $\frac{u_{n+1}}{u_n}= (1+\frac{x}{n+1})(\frac{n^2+n+xn}{n^2+n+xn+x})^n$

Si par exemple x est positif, le terme de gauche est plus grand que 1 mais pas celui de droite !

YvesM, $ (1+\frac{x}{n})^{\frac{n}{n+1}} > 1+\frac{n}{n+1} \frac{x}{n} $ ? Je veux bien mais je vois pas le lien entre le terme de gauche et $ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^{n}} $



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par anthomedal.
Dom
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
Peut-être que l'astuce est le lemme 1 ? (Edit : c'est ce que propose @YvesM)

Voir ici : [www.math.ens.fr]

C'était (l'est-ce encore) dans les documents d'accompagnement (1ere S je crois).

Je crois aussi que cela a été l'objet d'un sujet du CAPES Externe dans les années 2000.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.
Re: Croissance de $(1\frac{x}{n})^n
il y a onze jours
Déja le lemme 1 permet d'écrire que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > \dfrac{1+(n+1)x}{(1+\frac{x}{n})^n}$, j'avoue que je ne vois toujours pas la simplification...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$.
On peut aussi « continuiser » (pardon Cidrolin winking smiley) et étudier la fonction :
$t \mapsto \phi(t)= \ln ((1+\frac{a}{t})^{t})=t(\ln (t+a)-\ln t)$.
Qui peut le plus peut le moins.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[www.youtube.com]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Dom
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
"M'enfin" comme dirait l'autre, le document donne les détails en page 2.

Même s'il est vrai que pour la première égalité, il faut "chercher" un peu ce qui est fait.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Voici le sujet du CAPES évoqué par Dom (2004) et un un corrigé par J.-É. Rombaldi.

NB: Réminiscence de mémoire du rapport du jury : « L'épreuve de cette année était plus élémentaire que d'habitude : cela ne fait aucune différence pour les candidats. »
Re: Croissance de $(1+1\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Ca marche, merci beaucoup Math Coss ! :)
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
avatar
Je pense que la méthode a été plus ou moins proposée mais pourquoi ne pas étudier directement les variations de la fonction:

$f(x)=\left(1+\frac{t}{x}\right)^x$ en la dérivant ? (définie pour $x,t$ dans $]0;+\infty[$)

Il me semble qu'on se retrouve à étudier le signe de $\ln(1+u)-\frac{1}{1+u}$ quand $0<u<1$.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Eh bien, ça dépend de ce qu'on veut faire : si on suppose avoir construit l'exponentielle et le logarithme par une méthode quelconque, et que l'on veut simplement montrer que cette suite tend vers l'exponentielle en croissant, c'est une méthode efficace ; mais si on souhaite donner une construction ex nihilo de l'exponentielle, ça n'a pas de sens d'utiliser l'exponentielle que l'on veut construire et ses propriétés, si standards soient-elles.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Tu es comme moi, FDP, tu ne lis pas les messages des autres...
Dom
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Je crois en effet que l'on veut construire cette exponentielle en utilisant très peu d'outil.

Cela fournit une solution de l'équation différentielle : $y'=y$ et $y(0)=1$. C'est "l'existence" sans utiliser Cauchy-Lipschitz et sans le logarithme.
C'était écrit comme cela dans les programmes du secondaire (même si c'est certainement historique en dehors du cadre scolaire).
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a onze jours
Un petit coup d'inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique et ça roule presque tout seul ...

Soit $x\in\mathbb{R}$. On considère les deux suites $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ et $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ définies par
\begin{equation*}
u_{n}(x)=\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\quad\text{et}\quad v_{n}(x)=\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{-n}\cdotp
\end{equation*}
Puisque
\begin{equation*}
\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{n}=\bigl(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\bigr)^{n}<1,
\end{equation*}
on a donc $u_{n}(x)<v_{n}(x)$. Pour $n>\lvert x\rvert$, les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1+\frac{x}{n},1+\frac{x}{n},\dotsc,1+\frac{x}{n}
\end{equation*}
sont strictement positifs, de même que les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1-\frac{x}{n},1-\frac{x}{n},\dotsc,1-\frac{x}{n}\cdotp
\end{equation*}
En appliquant l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique à chacune de ces deux listes, on conclut que $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement croissante et que $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement décroissante. Et il reste à noter qu'elles sont en fait adjacentes.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
bonjour

Pour démontrer la croissance en n de la suite $u_n(x) = (1 + \frac{x}{n})^n$

on considère $ln(u_n) = n.ln(1+\frac{x}{n})$ et on opère une minoration par la suite explicitée $x - \frac{x^2}{n}$

en utilisant un développement limité de la fonction définie par $ln(1+t)$ pour t proche de 0

suite minorante qui est monotone croissante en $n$ quel que soit le signe de $x$

la croissance en $n$ de $ln(u_n)$ entraîne celle de $u_n$

cordialement
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Jean Lismonde a l'air de dire que si une suite réelle est minorée par une suite croissante alors elle est elle aussi croissante ; j'ai comme un doute...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
ev
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
avatar
On a eu droit à la convergence explosive, voici venu le temps de la convergence maladive.

e.v.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
ev thumbs down J'ai explosé de rire.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
La fonction $t\mapsto \frac{\ln(1+t)}t$ est décroissante sur $]-1;+\infty[\setminus\{0\}$, car taux d'accroissement d'une fonction concave. Donc par composition (pour $x\neq 0$), la fonction $n\mapsto e^{x\tfrac{\ln(1+x/n)}{x/n}}=(1+\frac xn)^n$ est croissante.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
C'est sûr que si l'on utilise la fonction exponentielle pour démontrer son existence, ça va être intéressant.
L'utilisation de $ln$ est à proscrire, a priori, également.

On constate beaucoup de hors sujet.

Mais, je ne donne pas de leçon, cela m'est arrivé de ne pas lire exhaustivement les fils.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Il n'était pas dit dans la question initiale que la question se posait dans le cadre de la construction des fonctions exponentielle et logarithme, auquel cas bien sûr on ne saurait utiliser ces fonctions, ni la version « continuisée » de l'inégalité de Bernoulli que donne YvesM.
Il était dit que le problème était posé « pendant un exercice sur les intégrales de Lebesgue », et l'on peut supposer que celui qui étudie l'intégrale de Lebesgue connaît les fonctions exponentielle et logarithme.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
$\bullet$ L'inégalité de Bernoulli peut s'énoncer ainsi : si $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, $x\in \mathbb{R}$, $x\geq -1$, alors : $(1+x)^{n}\geq 1+nx$.
Ou bien version stricte : si $n\in \mathbb{N}$,$ n \geq 2$, $x\in \mathbb{R}$, $x > -1$, $x \neq 0$, alors : $(1+x)^{n} > 1+nx$.
C'est une inégalité vraiment remarquable. Pour $x>0$ elle découle du binôme de Newton, mais elle est aussi très utile pour $-1<x<0$, et là sa démonstration constitue une des premières applications du raisonnement par récurrence, d'une grande simplicité.

$\bullet$ Soit $x\in \mathbb{R}^*$, et soit la suite $u_n=(1+\frac{x}{n})^n$, qu'on considèrera pour $n>\max (-x,0)$, afin qu'elle soit à termes positifs.
Alors : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\bigg(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}}\bigg)^{n+1}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)=\Big(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\Big)^{n+1}\frac{1}{1-\tfrac{x}{n+x}},\ $ d'où : $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$ en application immédiate de l'inégalité de Bernoulli.

Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Vrai.

Le gars qui développe cela à un oral, quel qu'il soit, fera ce qu'il veut. Ce sera accepté.

Et je suis certain (1000 €, allez, bon quand même pas, hein ?) que le jury va demander s'il n'y a pas une méthode plus élémentaire pour démontrer la croissance de cette suite.

Bon, je fais amende honorable, toutefois.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Il n'y a rien d'archi-simple pour obtenir la monotonie de cette suite si on choisit de ne pas utiliser l'exponentielle et le log (pour la bonne raison que l'on définit l'exponentielle comme limite de cette suite) ... Et le jury d'agreg le sait parfaitement.
Par contre, le jury pourrait demander qu'on lui montre que la limite vérifie bien quelques propriétés caractéristiques de la fonction exponentielle.
Dom
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Si c'est un concours de recrutement de l'enseignement du second degré, le jury (un des trois) demandera la méthode "simple" synthétisée dans le dernier message de @Chaurien.

Mais pardon pour cette digression, j'en suis responsable.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Il n'y a pas "une" méthode simple. Celle que je donne avec l'inégalité des moyennes, n'est ni plus simple ni plus compliquée.
Et on doit aussi pouvoir obtenir la monotonie des deux suites adjacentes que je citais plus haut à l'aide l'encadrement
\begin{equation*}
\mathopen{(}n+1\mathclose{)}a^{n}<\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}<\mathopen{(}n+1\mathclose{)}b^{n}
\end{equation*}
(qui se déduit l'expression $a^n-b^n$ ou du th des accroissements finis), ou bien encore avec le binôme de Newton. Ça marche très bien pour la monotonie de $u_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n}$ et $v_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n+1}$.
Voir par exemple
D. O. Shklarsky, N. N. Chentzov et I. M. Yaglom. The USSR Olympiad Problem Book: Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics. Dover, 1993 pour l'utilisation du binôme
N. Schaumberger. “Another Application of the Mean Value Theorem”, The Two-Year College Mathematics Journal 10.2 (1979), p. 114–115.

P. R. Mercer. More Calculus of a Single Variable. Springer, 2014, pour les propriétés caractéristiques de l'exponentielle comme limite de $u_{n}(x)=(1+\tfrac{x}{n})^{n}$.
Re: Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
il y a dix jours
Cette question a déjà été posée en oral d'agreg, il s'agissait de justifier très rapidement l'utilisation du théorème de convergence monotone dans une limite d'intégrales où apparaissait cette suite de fonctions $u_n(x)$. Les fonctions $\ln$ est $\exp$ étant évidemment connues !
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