Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$

Bonjour,

Écris $u_{n+1}/u_n$ et utilise $n<n+1$ pour minorer ou majorer par $1$... selon le signe de $x$...

Ou alors utilise l’inegalite de Bernoulli.

Bonjour,

Au niveau L1 on montre l’inegalite de Bernoulli par étude de fonction : $(1+t)^a \geq 1+ a t$ pour $t$ et $a$ deux réels positifs.
On choisit $t=x/n$ et $a=n/(n+1)$ pour $n$ entier non nul et $x$ un réel positif.

Le rapport de deux termes consécutifs de la suite est alors ... et on conclut sur la monotonie.

Peut-être que l'astuce est le lemme 1 ? (Edit : c'est ce que propose @YvesM)

Voir ici : http://www.math.ens.fr/~debarre/Exponentielle-Log.pdf

C'était (l'est-ce encore) dans les documents d'accompagnement (1ere S je crois).

Je crois aussi que cela a été l'objet d'un sujet du CAPES Externe dans les années 2000.

Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$.
On peut aussi « continuiser » (pardon Cidrolin ;-)) et étudier la fonction :
$t \mapsto \phi(t)= \ln ((1+\frac{a}{t})^{t})=t(\ln (t+a)-\ln t)$.
Qui peut le plus peut le moins.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Voici le sujet du CAPES évoqué par Dom (2004) et un un corrigé par J.-É. Rombaldi.

NB: Réminiscence de mémoire du rapport du jury : « L'épreuve de cette année était plus élémentaire que d'habitude : cela ne fait aucune différence pour les candidats. »

Je pense que la méthode a été plus ou moins proposée mais pourquoi ne pas étudier directement les variations de la fonction:

$f(x)=\left(1+\frac{t}{x}\right)^x$ en la dérivant ? (définie pour $x,t$ dans $]0;+\infty[$)

Il me semble qu'on se retrouve à étudier le signe de $\ln(1+u)-\frac{1}{1+u}$ quand $0<u<1$.

Tu es comme moi, FDP, tu ne lis pas les messages des autres...

Un petit coup d'inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique et ça roule presque tout seul ...

Soit $x\in\mathbb{R}$. On considère les deux suites $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ et $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ définies par
\begin{equation*}
u_{n}(x)=\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\quad\text{et}\quad v_{n}(x)=\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{-n}\cdotp
\end{equation*}
Puisque
\begin{equation*}
\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{n}=\bigl(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\bigr)^{n}<1,
\end{equation*}
on a donc $u_{n}(x)<v_{n}(x)$. Pour $n>\lvert x\rvert$, les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1+\frac{x}{n},1+\frac{x}{n},\dotsc,1+\frac{x}{n}
\end{equation*}
sont strictement positifs, de même que les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1-\frac{x}{n},1-\frac{x}{n},\dotsc,1-\frac{x}{n}\cdotp
\end{equation*}
En appliquant l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique à chacune de ces deux listes, on conclut que $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement croissante et que $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement décroissante. Et il reste à noter qu'elles sont en fait adjacentes.

Jean Lismonde a l'air de dire que si une suite réelle est minorée par une suite croissante alors elle est elle aussi croissante ; j'ai comme un doute...

ev (tu) J'ai explosé de rire.

C'est sûr que si l'on utilise la fonction exponentielle pour démontrer son existence, ça va être intéressant.
L'utilisation de $ln$ est à proscrire, a priori, également.

On constate beaucoup de hors sujet.

Mais, je ne donne pas de leçon, cela m'est arrivé de ne pas lire exhaustivement les fils.

$\bullet$ L'inégalité de Bernoulli peut s'énoncer ainsi : si $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, $x\in \mathbb{R}$, $x\geq -1$, alors : $(1+x)^{n}\geq 1+nx$.
Ou bien version stricte : si $n\in \mathbb{N}$,$ n \geq 2$, $x\in \mathbb{R}$, $x > -1$, $x \neq 0$, alors : $(1+x)^{n} > 1+nx$.
C'est une inégalité vraiment remarquable. Pour $x>0$ elle découle du binôme de Newton, mais elle est aussi très utile pour $-1<x<0$, et là sa démonstration constitue une des premières applications du raisonnement par récurrence, d'une grande simplicité.

$\bullet$ Soit $x\in \mathbb{R}^*$, et soit la suite $u_n=(1+\frac{x}{n})^n$, qu'on considèrera pour $n>\max (-x,0)$, afin qu'elle soit à termes positifs.
Alors : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\bigg(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}}\bigg)^{n+1}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)=\Big(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\Big)^{n+1}\frac{1}{1-\tfrac{x}{n+x}},\ $ d'où : $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$ en application immédiate de l'inégalité de Bernoulli.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Il n'y a rien d'archi-simple pour obtenir la monotonie de cette suite si on choisit de ne pas utiliser l'exponentielle et le log (pour la bonne raison que l'on définit l'exponentielle comme limite de cette suite) ... Et le jury d'agreg le sait parfaitement.
Par contre, le jury pourrait demander qu'on lui montre que la limite vérifie bien quelques propriétés caractéristiques de la fonction exponentielle.

Il n'y a pas "une" méthode simple. Celle que je donne avec l'inégalité des moyennes, n'est ni plus simple ni plus compliquée.
Et on doit aussi pouvoir obtenir la monotonie des deux suites adjacentes que je citais plus haut à l'aide l'encadrement
\begin{equation*}
\mathopen{(}n+1\mathclose{)}a^{n}<\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}<\mathopen{(}n+1\mathclose{)}b^{n}
\end{equation*}
(qui se déduit l'expression $a^n-b^n$ ou du th des accroissements finis), ou bien encore avec le binôme de Newton. Ça marche très bien pour la monotonie de $u_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n}$ et $v_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n+1}$.
Voir par exemple
D. O. Shklarsky, N. N. Chentzov et I. M. Yaglom. The USSR Olympiad Problem Book: Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics. Dover, 1993 pour l'utilisation du binôme
N. Schaumberger. “Another Application of the Mean Value Theorem”, The Two-Year College Mathematics Journal 10.2 (1979), p. 114–115.

P. R. Mercer. More Calculus of a Single Variable. Springer, 2014, pour les propriétés caractéristiques de l'exponentielle comme limite de $u_{n}(x)=(1+\tfrac{x}{n})^{n}$.