Croissance de $(1+\frac{x}{n})^n$
dans Analyse
Bonjour,
Question toute bête mais je me la suis posé pendant un exercice sur les intégrales de Lebesgue, je sais que la suite de terme général $(1+\frac{x}{n})^n$ converge vers $e^x$, mais dans mon exercice ils ont l'air de l'utiliser sachant que cette convergence est par valeur inférieur ! Dans mon esprit il suffit de montrer que la suite est croissante, ainsi, j'ai essayé la classique méthode du quotient et différence, mais ca ne se simplifie pas beaucoup. Quelqu'un connaît l'astuce ? Merci !
Question toute bête mais je me la suis posé pendant un exercice sur les intégrales de Lebesgue, je sais que la suite de terme général $(1+\frac{x}{n})^n$ converge vers $e^x$, mais dans mon exercice ils ont l'air de l'utiliser sachant que cette convergence est par valeur inférieur ! Dans mon esprit il suffit de montrer que la suite est croissante, ainsi, j'ai essayé la classique méthode du quotient et différence, mais ca ne se simplifie pas beaucoup. Quelqu'un connaît l'astuce ? Merci !
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Réponses
Écris $u_{n+1}/u_n$ et utilise $n<n+1$ pour minorer ou majorer par $1$... selon le signe de $x$...
Ou alors utilise l’inegalite de Bernoulli.
On y parvient pourtant...
Je me souviens, jadis, reprendre un corrigé pour y parvenir et me dire "ha oui d'accord".
Puis...recommencer le lendemain...
Cela m'évoque la pagaille dans les calculs pour trouver l'inégalité de Minkowski à partir de celle de Hölder.
Au niveau L1 on montre l’inegalite de Bernoulli par étude de fonction : $(1+t)^a \geq 1+ a t$ pour $t$ et $a$ deux réels positifs.
On choisit $t=x/n$ et $a=n/(n+1)$ pour $n$ entier non nul et $x$ un réel positif.
Le rapport de deux termes consécutifs de la suite est alors ... et on conclut sur la monotonie.
Si par exemple x est positif, le terme de gauche est plus grand que 1 mais pas celui de droite !
YvesM, $ (1+\frac{x}{n})^{\frac{n}{n+1}} > 1+\frac{n}{n+1} \frac{x}{n} $ ? Je veux bien mais je vois pas le lien entre le terme de gauche et $ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^{n}} $
Voir ici : http://www.math.ens.fr/~debarre/Exponentielle-Log.pdf
C'était (l'est-ce encore) dans les documents d'accompagnement (1ere S je crois).
Je crois aussi que cela a été l'objet d'un sujet du CAPES Externe dans les années 2000.
On peut aussi « continuiser » (pardon Cidrolin ;-)) et étudier la fonction :
$t \mapsto \phi(t)= \ln ((1+\frac{a}{t})^{t})=t(\ln (t+a)-\ln t)$.
Qui peut le plus peut le moins.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Même s'il est vrai que pour la première égalité, il faut "chercher" un peu ce qui est fait.
NB: Réminiscence de mémoire du rapport du jury : « L'épreuve de cette année était plus élémentaire que d'habitude : cela ne fait aucune différence pour les candidats. »
$f(x)=\left(1+\frac{t}{x}\right)^x$ en la dérivant ? (définie pour $x,t$ dans $]0;+\infty[$)
Il me semble qu'on se retrouve à étudier le signe de $\ln(1+u)-\frac{1}{1+u}$ quand $0<u<1$.
Cela fournit une solution de l'équation différentielle : $y'=y$ et $y(0)=1$. C'est "l'existence" sans utiliser Cauchy-Lipschitz et sans le logarithme.
C'était écrit comme cela dans les programmes du secondaire (même si c'est certainement historique en dehors du cadre scolaire).
Soit $x\in\mathbb{R}$. On considère les deux suites $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ et $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ définies par
\begin{equation*}
u_{n}(x)=\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\quad\text{et}\quad v_{n}(x)=\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{-n}\cdotp
\end{equation*}
Puisque
\begin{equation*}
\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n}\bigl(1-\frac{x}{n}\bigr)^{n}=\bigl(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\bigr)^{n}<1,
\end{equation*}
on a donc $u_{n}(x)<v_{n}(x)$. Pour $n>\lvert x\rvert$, les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1+\frac{x}{n},1+\frac{x}{n},\dotsc,1+\frac{x}{n}
\end{equation*}
sont strictement positifs, de même que les $n+1$ nombres
\begin{equation*}
1,1-\frac{x}{n},1-\frac{x}{n},\dotsc,1-\frac{x}{n}\cdotp
\end{equation*}
En appliquant l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique à chacune de ces deux listes, on conclut que $(u_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement croissante et que $(v_{n}(x))_{n>\lvert x\rvert}$ est strictement décroissante. Et il reste à noter qu'elles sont en fait adjacentes.
Pour démontrer la croissance en n de la suite $u_n(x) = (1 + \frac{x}{n})^n$
on considère $ln(u_n) = n.ln(1+\frac{x}{n})$ et on opère une minoration par la suite explicitée $x - \frac{x^2}{n}$
en utilisant un développement limité de la fonction définie par $ln(1+t)$ pour t proche de 0
suite minorante qui est monotone croissante en $n$ quel que soit le signe de $x$
la croissance en $n$ de $ln(u_n)$ entraîne celle de $u_n$
cordialement
e.v.
L'utilisation de $ln$ est à proscrire, a priori, également.
On constate beaucoup de hors sujet.
Mais, je ne donne pas de leçon, cela m'est arrivé de ne pas lire exhaustivement les fils.
Il était dit que le problème était posé « pendant un exercice sur les intégrales de Lebesgue », et l'on peut supposer que celui qui étudie l'intégrale de Lebesgue connaît les fonctions exponentielle et logarithme.
Ou bien version stricte : si $n\in \mathbb{N}$,$ n \geq 2$, $x\in \mathbb{R}$, $x > -1$, $x \neq 0$, alors : $(1+x)^{n} > 1+nx$.
C'est une inégalité vraiment remarquable. Pour $x>0$ elle découle du binôme de Newton, mais elle est aussi très utile pour $-1<x<0$, et là sa démonstration constitue une des premières applications du raisonnement par récurrence, d'une grande simplicité.
$\bullet$ Soit $x\in \mathbb{R}^*$, et soit la suite $u_n=(1+\frac{x}{n})^n$, qu'on considèrera pour $n>\max (-x,0)$, afin qu'elle soit à termes positifs.
Alors : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\bigg(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}}\bigg)^{n+1}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)=\Big(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\Big)^{n+1}\frac{1}{1-\tfrac{x}{n+x}},\ $ d'où : $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$ en application immédiate de l'inégalité de Bernoulli.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Le gars qui développe cela à un oral, quel qu'il soit, fera ce qu'il veut. Ce sera accepté.
Et je suis certain (1000 €, allez, bon quand même pas, hein ?) que le jury va demander s'il n'y a pas une méthode plus élémentaire pour démontrer la croissance de cette suite.
Bon, je fais amende honorable, toutefois.
Par contre, le jury pourrait demander qu'on lui montre que la limite vérifie bien quelques propriétés caractéristiques de la fonction exponentielle.
Mais pardon pour cette digression, j'en suis responsable.
Et on doit aussi pouvoir obtenir la monotonie des deux suites adjacentes que je citais plus haut à l'aide l'encadrement
\begin{equation*}
\mathopen{(}n+1\mathclose{)}a^{n}<\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}<\mathopen{(}n+1\mathclose{)}b^{n}
\end{equation*}
(qui se déduit l'expression $a^n-b^n$ ou du th des accroissements finis), ou bien encore avec le binôme de Newton. Ça marche très bien pour la monotonie de $u_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n}$ et $v_{n}=(1+\tfrac{1}{n})^{n+1}$.
Voir par exemple
D. O. Shklarsky, N. N. Chentzov et I. M. Yaglom. The USSR Olympiad Problem Book: Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics. Dover, 1993 pour l'utilisation du binôme
N. Schaumberger. “Another Application of the Mean Value Theorem”, The Two-Year College Mathematics Journal 10.2 (1979), p. 114–115.
P. R. Mercer. More Calculus of a Single Variable. Springer, 2014, pour les propriétés caractéristiques de l'exponentielle comme limite de $u_{n}(x)=(1+\tfrac{x}{n})^{n}$.