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question sur la divergence

Envoyé par Vladimir 
question sur la divergence
il y a huit mois
Bonjour, voici une question.

Sachant que $r$ représente le rayon vecteur $OM$ entre l'origine $O$ et un point $M$ de coordonnées $x, y, z$, calculer la $div(A)$, où : $A=\dfrac{r}{r^3}.$

Et voici le corrigé.
$\displaystyle div(A)=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.\ $ On trouve $\ \displaystyle \frac{\partial A_{x}}{\partial x}=\frac{r^3-3x^2r}{r^6}.\ $En calculant les $2$ autres termes, on trouve $div(A)=0.$

Ma question.
Comment l'auteur à déduit que $\displaystyle \frac{\partial A_{x}}{\partial x}=\frac{r^3-3x^2r}{r^6}\ $ ?
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
avatar
Mauvaise notation sur A, à lire $A=\frac r{||r||^3}$ ce qui donne
$$A_x=\frac x{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}}$$

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
L'auteur a simplement fait le calcul ! Une dérivée de quotient de puissances de $x$ ça peut se faire en 1ère non ? En renormalisant comme il faut pour avoir des puissances entières de $r$ on tombe sur ce qu'il faut.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Poirot.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
avatar
@Poirot
La notation $r/r^3$ n'est pas confuse ?. Moi je vois r comme le vecteur de composante $(x,y,z)$ donc $r^3$ n'a pas de sens

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
@gebrane : je ne m'attaquais pas à ton post qui est tout à fait justifié mais qui ne répondait pas à la question. Au passage, le problème de notation est aussi présent dans la réponse annoncée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Poirot.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Re-bonjour
Rectification, ma question ne consistait pas en "comment dériver", mais "comment trouver les composantes Ax, Ay, Az"

Est-ce le bon raisonnement ?
\begin{align*}
\frac{r}{r^3}&=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\bigg(\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\bigg)^{2}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^3}}\\
&=\sqrt{\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^3}+\frac{y^2}{(x^2+y^2+z^2)^3}+\frac{z^2}{(x^2+y^2+z^2)^3}}
\end{align*} et donc par identification : $$
A_{x}=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\ A_{y}=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\ A_{z}=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}.
$$ Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
avatar
désolé Poirot de te contredire, j'avais senti qu'il avait un problème sur l'expression de $A_x$; après le calcul de $\partial A_x \over \partial x$ devient plus claire et on retrouve le résultat du corrigé.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Ok, je pensais que le problème était sur la dérivation, ce n'était pas très clair.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Vladimir,

pourquoi $\frac r{r^3}$ n'est-il pas simplifié en $\frac 1 {r^2}$ ?????? Bien plus facile à dériver ...

Je n'ai pas compris ton "par identification : "; quelle identification (à part "ça m'arrange pour la suite du calcul, pour trouver le bon résultat") ?

Cordialement.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Re-bonjour,
parce que il faut calculer la $div(A)$, avec :$div(A)=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}$
et donc il te faut les composantes de $A$ selon $x,\, y$ et $z$ soit $A_{x},\,A_{y},\,A_{z}$ ou sous cette forme encore :
le vecteur $\vec{A}$ avec ces coordonnées
$\vec{A}=\bigl(\begin{smallmatrix} A_{x}\\ A_{y}\\ A_{z} \end{smallmatrix}\bigr)=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k}$

Dans l'énoncé on nous donne $A=\tfrac{r}{r^3}$ or ça c'est la norme de $A$: $A=\left \| \vec{A} \right \|=\sqrt{(A_{x})^2+(A_{y})^2+(A_{z})^2}$
Si simplifie le $\frac{r}{r^3}=\frac{1}{r^2}$ il va falloir ré-développer pour obtenir les composantes $A_x,\,A_y,\,A_z$.

$\sqrt{(A_{x})^2+(A_{y})^2+(A_{z})^2}$
par identification
$\displaystyle \sqrt{\bigg(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\bigg)^2+\bigg(\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\bigg)^2+\bigg(\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\bigg)^2}$

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
gb
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
avatar
Bonjour,

Il semble plutôt qu'il y ait oubli d'un vecteur ; il faut lire

ou bien, à la française : \(\overrightarrow{A} = \dfrac{\overrightarrow{r}}{r^3}\) ;

ou bien, à l'anglosaxonne : \(\mathbf{A} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\).
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
En effet, le module d'un vecteur ne dit rien sur sa direction, donc sur ses composantes.
les composantes d'un vecteur de norme $\frac r{r^3}$ peuvent être n'importe quel triplet $(\frac a{r^2},\frac b{r^2},\frac c{r^2})$ où $a^2+b^2+c^2=1$

Cordialement.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
gb écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

C'est bien cette notation anglo-saxonne.
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Donc les coordonnées de $\mathbf{A}$ sont $\frac x{r^3},\frac y{r^3} $ et $\frac z{r^3}$ avec $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Avec ça, tu peux calculer ...

Cordialement.
Re: question sur la divergence
il y a huit mois
Bonjour,

merci gerard0 pour faire cette clarification.

Merci les autres.

Cordialement.
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