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dérivée d'une trace par rapport à une matrice

Fies_Fies_
dans Analyse
Bonjour,
Soit $M$ une matrice dans $R^{n*n}$ avec $m_{ii}=0$ pas forcément symétrique, $D$ une matrice diagonale avec $d_{ii}=\sum_{j}m{ij}$ et $L=D-M$ la matrice Laplacienne.

Etant donnée une $A$ dans $R^{n\times p}$ et un scalaire $\gamma$, je cherche à dériver $\gamma Tr(A^\top(D-M)A)$ par rapport à $M$

$$\frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A^\top(D-M)A)$$

Aussi, je voudrais savoir si la dérivation d'en dessus revient à dériver $\gamma Tr(A^\top LA)$ par rapport à $L$ ?

Merci
EDIT: c'est plutôt $D-M$ et non pas $M-D$, désolé

Réponses

  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    $D$ dépend linéairement de $M$, notons-la $D(M)$.

    Vu que $M\mapsto \gamma\,\mathrm{Tr}(A^{\mathsf T}(M-D(M))A)$ est une forme linéaire $M$, sa différentielle en tout $M$ est elle-même : $H\mapsto \gamma\,\mathrm{Tr}(A^{\mathsf T}(H-D(H))A)$.
  • Fies_Fies_
    Je te remercie pour ta réponse, je viens d'éditer mon message et c'est plutôt $D-M$ et non pas $M-D$.
    Donc si j'ai bien compris la dérivée reste la même
    $$ \frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A'(D-M)A) = \gamma Tr(A'(D-M)A)$$

    Je cherche la dérivée de cette fonction parce que dois trouver la matrice $M$ qui la minimise en fonction de la matrice $A$ et qui revient à résoudre cette équation:
    $$ \frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A'(D-M)A) =0$$
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Ça ne va pas !!! Tu veux minimiser une forme linéaire ?
    Tu dois te mélanger les pédales dans ton problème.
  • Fies_Fies_
    Oui en gros il faut que je trouve la matrice qui minimise cette forme à part le cas évident de la matrice $M_{ij}=0$. Il est où le problème ?
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Le problème est qu'une forme linéaire non nulle n'a pas de minimum, sauf à restreindre l'ensemble de départ, ce que tu ne mentionnes nulle part.
    Ta question n'a donc, telle que tu la formules, aucun sens. Sans doute n'est-ce pas la bonne question.
  • P.P.
    Dans ces questions de Laplacien, souvent $M$ est a coefficients positifs ou nuls. Avec cette contrainte,, plus se donner la somme des coefficients de $M$, minimiser aurait du sens? On considere la matrice semi definie positive $P=A^TA$ et sans perte de generalite on suppose que $M$ est symetrique car sinon on peut travailler avec $(M+M^T)/2.$ ce qui permet de dire que $D-M$ est semi definie positive. On a donc a minimiser $\langle D-M,P \rangle$ ou le produit scalaire est celui des matrices symetriques $\langle A,B \rangle=$trace$AB.$.Priere de faire connaitre les bonnes contraintes sur $M.$
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