dérivée d'une trace par rapport à une matrice
Bonjour,
Soit $M$ une matrice dans $R^{n*n}$ avec $m_{ii}=0$ pas forcément symétrique, $D$ une matrice diagonale avec $d_{ii}=\sum_{j}m{ij}$ et $L=D-M$ la matrice Laplacienne.
Etant donnée une $A$ dans $R^{n\times p}$ et un scalaire $\gamma$, je cherche à dériver $\gamma Tr(A^\top(D-M)A)$ par rapport à $M$
$$\frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A^\top(D-M)A)$$
Aussi, je voudrais savoir si la dérivation d'en dessus revient à dériver $\gamma Tr(A^\top LA)$ par rapport à $L$ ?
Merci
EDIT: c'est plutôt $D-M$ et non pas $M-D$, désolé
Soit $M$ une matrice dans $R^{n*n}$ avec $m_{ii}=0$ pas forcément symétrique, $D$ une matrice diagonale avec $d_{ii}=\sum_{j}m{ij}$ et $L=D-M$ la matrice Laplacienne.
Etant donnée une $A$ dans $R^{n\times p}$ et un scalaire $\gamma$, je cherche à dériver $\gamma Tr(A^\top(D-M)A)$ par rapport à $M$
$$\frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A^\top(D-M)A)$$
Aussi, je voudrais savoir si la dérivation d'en dessus revient à dériver $\gamma Tr(A^\top LA)$ par rapport à $L$ ?
Merci
EDIT: c'est plutôt $D-M$ et non pas $M-D$, désolé
Réponses
-
$D$ dépend linéairement de $M$, notons-la $D(M)$.
Vu que $M\mapsto \gamma\,\mathrm{Tr}(A^{\mathsf T}(M-D(M))A)$ est une forme linéaire $M$, sa différentielle en tout $M$ est elle-même : $H\mapsto \gamma\,\mathrm{Tr}(A^{\mathsf T}(H-D(H))A)$. -
Je te remercie pour ta réponse, je viens d'éditer mon message et c'est plutôt $D-M$ et non pas $M-D$.
Donc si j'ai bien compris la dérivée reste la même
$$ \frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A'(D-M)A) = \gamma Tr(A'(D-M)A)$$
Je cherche la dérivée de cette fonction parce que dois trouver la matrice $M$ qui la minimise en fonction de la matrice $A$ et qui revient à résoudre cette équation:
$$ \frac{\partial}{\partial M} \gamma Tr(A'(D-M)A) =0$$ -
Ça ne va pas !!! Tu veux minimiser une forme linéaire ?
Tu dois te mélanger les pédales dans ton problème. -
Oui en gros il faut que je trouve la matrice qui minimise cette forme à part le cas évident de la matrice $M_{ij}=0$. Il est où le problème ?
-
Le problème est qu'une forme linéaire non nulle n'a pas de minimum, sauf à restreindre l'ensemble de départ, ce que tu ne mentionnes nulle part.
Ta question n'a donc, telle que tu la formules, aucun sens. Sans doute n'est-ce pas la bonne question. -
Dans ces questions de Laplacien, souvent $M$ est a coefficients positifs ou nuls. Avec cette contrainte,, plus se donner la somme des coefficients de $M$, minimiser aurait du sens? On considere la matrice semi definie positive $P=A^TA$ et sans perte de generalite on suppose que $M$ est symetrique car sinon on peut travailler avec $(M+M^T)/2.$ ce qui permet de dire que $D-M$ est semi definie positive. On a donc a minimiser $\langle D-M,P \rangle$ ou le produit scalaire est celui des matrices symetriques $\langle A,B \rangle=$trace$AB.$.Priere de faire connaitre les bonnes contraintes sur $M.$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres