condition d'existence du couple (x+y, xy)

Sais-tu factoriser $t^2-(x+y)t+xy$ ?

Bonjour.

On considère le couple $\def\rr{\mathbb R}(x+y, x*y)\in \rr^2$ pour $x\in\rr$ et $y\in\rr$. Quelles sont les conditions sur $x$ et $y$ pour que ce couple existe ? il n'y a aucune condition à cela. Pour $x,y\in\rr$, les quantités $x+y$ et $x\,y$ existent tout le temps.

Autre question. On part d'un couple $(s,p)$ et on se demande si il existe $x,y$ tels que $(s,p)=(x+y,x\,y)$, ce qui revient à demander la condition sur $s,p$ pour qu'il existe $x,y$ tels que $s=x+y$ et $p=x\,y$. La méthode est connue. Elle consiste à supposer que $x,y$ existent. Alors nécessairement $(x-y)^2 =(x+y)^2-4x\,y=s^2-4p\geq 0$, d'où l'expression permettant de discriminer les cas qui ont une solution (dans $\rr$).

Quant à savoir pourquoi cela revient à examiner l'équation en $X$ : $ (X-x)(X-y)=X^2 - (x+y)X+xy=X^2 -sX+p=0$... cela semble lié au fait qu'un produit de facteurs dans $\rr$ est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Cordialement, Pierre.