condition d'existence du couple (x+y, xy)
Bonjour,
Je rencontre un problème sur lequel je bloque.
On considère le couple (x+y, xy) dans R2 pour x dans R et y dans R.
Quelles sont les conditions sur x et y pour que ce couple existe ?
Par exemple (1, 1) n'existe pas car il n'existe pas x et y tels que
x+y=1 et xy=1
En cherchant j'ai trouvé ceci :
(x+y, xy) existe si, et seulement si, l'équation t2 - (x+y)t + xy = 0 possède deux solutions réelles.
Mais je ne vois pas le lien entre l’existence du couple et cette équation.
Je rencontre un problème sur lequel je bloque.
On considère le couple (x+y, xy) dans R2 pour x dans R et y dans R.
Quelles sont les conditions sur x et y pour que ce couple existe ?
Par exemple (1, 1) n'existe pas car il n'existe pas x et y tels que
x+y=1 et xy=1
En cherchant j'ai trouvé ceci :
(x+y, xy) existe si, et seulement si, l'équation t2 - (x+y)t + xy = 0 possède deux solutions réelles.
Mais je ne vois pas le lien entre l’existence du couple et cette équation.
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Réponses
C'est un classique sur le second degré :
Si x et y existent, ce sont les solutions de X²-sX+p=0 où s=x+y et p=xy, donc $s^2-4p \ge 0$. Et réciproquement, si X²-sX+p=0, les deux solutions x et y de cette équation vérifient x+y=s et xy=p.
Donc un couple (a,b) est de la forme (x+y,xy) si et seulement si $a^2-4b \ge 0$.
Cordialement.
ou
t(t-(x+y) + xy/t)
puis éventuellement :
t2(1 - (x+y)/t + xy/t2)
si t différent de 0
1 - (x+y)/t + xy/t2 = 0
Mais je ne vois pas ou ça mène
Merci pour cette réponse, mais du coup comment prouver "si x et y existent, ce sont les solutions de X²-sX+p=0 où s=x+y et p=xy" ?
Cordialement,
On considère le couple $\def\rr{\mathbb R}(x+y, x*y)\in \rr^2$ pour $x\in\rr$ et $y\in\rr$. Quelles sont les conditions sur $x$ et $y$ pour que ce couple existe ? il n'y a aucune condition à cela. Pour $x,y\in\rr$, les quantités $x+y$ et $x\,y$ existent tout le temps.
Autre question. On part d'un couple $(s,p)$ et on se demande si il existe $x,y$ tels que $(s,p)=(x+y,x\,y)$, ce qui revient à demander la condition sur $s,p$ pour qu'il existe $x,y$ tels que $s=x+y$ et $p=x\,y$. La méthode est connue. Elle consiste à supposer que $x,y$ existent. Alors nécessairement $(x-y)^2 =(x+y)^2-4x\,y=s^2-4p\geq 0$, d'où l'expression permettant de discriminer les cas qui ont une solution (dans $\rr$).
Quant à savoir pourquoi cela revient à examiner l'équation en $X$ : $ (X-x)(X-y)=X^2 - (x+y)X+xy=X^2 -sX+p=0$... cela semble lié au fait qu'un produit de facteurs dans $\rr$ est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Cordialement, Pierre.
je supposais connue cette propriété qui revient à dire que si x et y existent ils sont les solutions de (X-x)(X-y)=0 comme vient de le dire Pldx1.
Et il y a une factorisation élémentaire de t²-(x+y)t+xy, ce que tu proposes n'est pas valable pour t=0 et sans intérêt ici.
Cordialement.