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condition d'existence du couple (x+y, xy)

Envoyé par Nyis 
condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Bonjour,

Je rencontre un problème sur lequel je bloque.

On considère le couple (x+y, xy) dans R2 pour x dans R et y dans R.

Quelles sont les conditions sur x et y pour que ce couple existe ?
Par exemple (1, 1) n'existe pas car il n'existe pas x et y tels que
x+y=1 et xy=1

En cherchant j'ai trouvé ceci :
(x+y, xy) existe si, et seulement si, l'équation t2 - (x+y)t + xy = 0 possède deux solutions réelles.
Mais je ne vois pas le lien entre l’existence du couple et cette équation.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par JLT.
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Sais-tu factoriser $t^2-(x+y)t+xy$ ?
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Bonjour.

C'est un classique sur le second degré :
Si x et y existent, ce sont les solutions de X²-sX+p=0 où s=x+y et p=xy, donc $s^2-4p \ge 0$. Et réciproquement, si X²-sX+p=0, les deux solutions x et y de cette équation vérifient x+y=s et xy=p.

Donc un couple (a,b) est de la forme (x+y,xy) si et seulement si $a^2-4b \ge 0$.

Cordialement.
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
t2(1 - (x+y)/t + xy/t2)
ou
t(t-(x+y) + xy/t)

puis éventuellement :
t2(1 - (x+y)/t + xy/t2)
si t différent de 0
1 - (x+y)/t + xy/t2 = 0

Mais je ne vois pas ou ça mène
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Bonjour gerard0,

Merci pour cette réponse, mais du coup comment prouver "si x et y existent, ce sont les solutions de X²-sX+p=0 où s=x+y et p=xy" ?

Cordialement,
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Bonjour.

On considère le couple $\def\rr{\mathbb R}(x+y, x*y)\in \rr^2$ pour $x\in\rr$ et $y\in\rr$. Quelles sont les conditions sur $x$ et $y$ pour que ce couple existe ? il n'y a aucune condition à cela. Pour $x,y\in\rr$, les quantités $x+y$ et $x\,y$ existent tout le temps.

Autre question. On part d'un couple $(s,p)$ et on se demande si il existe $x,y$ tels que $(s,p)=(x+y,x\,y)$, ce qui revient à demander la condition sur $s,p$ pour qu'il existe $x,y$ tels que $s=x+y$ et $p=x\,y$. La méthode est connue. Elle consiste à supposer que $x,y$ existent. Alors nécessairement $(x-y)^2 =(x+y)^2-4x\,y=s^2-4p\geq 0$, d'où l'expression permettant de discriminer les cas qui ont une solution (dans $\rr$).

Quant à savoir pourquoi cela revient à examiner l'équation en $X$ : $ (X-x)(X-y)=X^2 - (x+y)X+xy=X^2 -sX+p=0$... cela semble lié au fait qu'un produit de facteurs dans $\rr$ est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Cordialement, Pierre.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par pldx1.
Re: condition d'existence du couple (x+y, xy)
il y a huit jours
Nyis,

je supposais connue cette propriété qui revient à dire que si x et y existent ils sont les solutions de (X-x)(X-y)=0 comme vient de le dire Pldx1.

Et il y a une factorisation élémentaire de t²-(x+y)t+xy, ce que tu proposes n'est pas valable pour t=0 et sans intérêt ici.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
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