Produit scalaire

Topotopo
Topotopo
dans Analyse
Bonsoir
S'il vous plaît, pouvez-vous m'aider à faire ce calcul e :

Si $\langle a-b, x-\frac{a+b}{2}\rangle=0\ $ alors $\ ||\frac{a-b}{2}||^2=-||x-\frac{a+b}{2}||^2+||x-a||^2$

J'ai utilisé le théorème de Pythagore; on a donc $$||a-b||^2+\Big\|x-\frac{a+b}{2}\Big\|^2=\Big\|(a-b)+x-\frac{a+b}{2}\Big\|^2$$ Mais je n'arrive pas je tourne en rond.
Vous avez des idées s'il vous plaît.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce n'est pas $a-b$ que tu dois faire apparaître, mais $\dfrac{a-b}2$.

    As-tu fait un dessin ?
  • Topotopo
    Topotopo
    Non je n'ai pas fait de dessin
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu devrais, ça te permettrait d'y voir plus clair.
  • Dom
    Dom
    Une remarque : si je comprends ce que tu écris, en appliquant le théorème de Pythagore, n'y a-t-il pas une coquille ?
    On lit $a-b$ dans le premier argument du produit scalaire, mais on lit $a+b$ dans la somme (dernier membre de droite, ce que j'appelle abusivement «l'hypoténuse »).
  • Topotopo
    Topotopo
    J'ai corrigé
  • Topotopo
    Topotopo
    Je n'ai pas su faire le dessin, comment je dois calculer?
  • Dom
    Dom
    Dans le membre de droite, je ne trouve pas $x-a$ mais $x-b$.

    @GaBuZoMeu n'ayant pas mentionné cette erreur (Edit : qui n'en est pas une !), on peut patienter...

    Une chose est sûre : le première remarque de @GaBuZoMeu est à étudier.
    Avant d'appliquer Pythagore, choisir $(a-b)/2$ au lieu de $a-b$ dans le produit scalaire nul.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Dom, si tu avais fait un dessin, tu aurais vu que $x-a$ ou $x-b$ vont aussi bien l'un que l'autre.
  • Topotopo
    Topotopo
    Je ne comprends pas votre remarque " je trouve $x-b$ à la place de $x-a$"

    Je pense que si je multiplie par $\frac12$ dans l’hypothèse ça revient au même ?
  • Topotopo
    Topotopo
    Vous pouvez m'aider à faire le dessin. je n'y arrive pas j'ai juste mis 3 points sur une feuille a,x, et b
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Où est $\dfrac{a+b}2$ ? Qu'est-ce que ça veut dire, que le produit scalaire de $a-b$ et de $x-\dfrac{a+b}2$ est nul ?
  • Topotopo
    Topotopo
    $\frac{a+b}{2}\in K$ parce que $K$ est convexe

    je pense que j'ai trouvé , j'ai multiplié par $\frac{1}{2}$ et j'ai appliqué Pythagore
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Un peu n'importe quoi comme réponse. $\dfrac{a+b}2$ est le milieu de $a$ et de $b$, et le fait que le produit scalaire de $a-b$ et de $x-\dfrac{a+b}2$ veut dire que $x$ est sur la médiatrice (dans le plan), ou sur l'hyperplan médiateur (plus généralement) de $a$ et $b$.
    Un minimum de vision géométrique ne fait pas de mal !
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